2154: Crash的数字表格Time Limit:20 SecMemory Limit:259 MBSubmit:1063Solved:417[Submit][Status][Discuss]Description
今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
Output
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
Sample Input
4 5
Sample Output
122【数据规模和约定】100%的数据满足N, M ≤ 107。
HINTSource
数论
莫比乌斯反演。
以下来自PoPoQQQ的PPT。
最后的F(x,y)的推法和求gcd(x,y)=1的(x,y)对数差不多，只不过在推导过程中把原来1的地方换成x*y。
那么我们预处理出i^2*u[i]的前缀和，F(x,y)可以在O(sqrt(n))时间内求出来，而ans的式子也可以在O(sqrt(n))中求出来，因此最后的时间复杂度是O(n)的。
#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cstdlib>#define mod 20101009#define LL long long#define M 10000000+5using namespace std;int mu[M],p[1000000],check[M],tot,n,m;LL s[M];void Getmobius(){mu[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){if (!check[i]){p[++tot]=i;mu[i]=-1;}for (int j=1;j<=tot;j++){if (i*p[j]>n) break;check[i*p[j]]=1;if (i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}else mu[i*p[j]]=-mu[i];}}s[0]=0;for (int i=1;i<=n;i++)s[i]=(s[i-1]+(1LL*mu[i]*i%mod*i%mod))%mod;}LL Sum(LL x,LL y){x=(x*(x+1)/2)%mod;y=(y*(y+1)/2)%mod;return (x*y%mod);}LL Getf(int x,int y){int pos;LL ans=0;for (int i=1;i<=x;i=pos+1){pos=min(x/(x/i),y/(y/i));ans=(ans+(s[pos]-s[i-1]+mod)%mod*Sum((LL)x/i,(LL)y/i)%mod)%mod;}return ans;}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);if (n>m) swap(n,m);Getmobius();int pos;LL ans=0;for (int i=1;i<=n;i=pos+1){pos=min(n/(n/i),m/(m/i));ans=(ans+1LL*(i+pos)*(pos-i+1)/2%mod*Getf(n/i,m/i)%mod)%mod;}cout<<ans<<endl;return 0;}
感悟：
1.WA都是因为强制转换long long类型出错了。。
谁能告诉我强制转换类型怎么转换QAQ
2.我发现目前做的几道莫比乌斯函数的题目里，用到莫比乌斯函数的地方都是求gcd(x,y)=1的(x,y)对数(x<=n,y<=m)
有两种方法：
一.一种是用到i=1?sigma(u[i])=1:0，详见【BZOJ 1101】
二.第二种是莫比乌斯反演：
这两种方法得到的结果可以互相推过去的，而第二种方法的结果更为普遍适用。
3.莫比乌斯反演的意义在于：
一些情况下直接求f(n)并不好求，而求倍数和或者F(n)比较容易，那么用下述的莫比乌斯反演可以讲f[n]和F[n]快速转化。
人生没有彩排，只有现场直播，所以每一件事都要努力做得最好
