题目：Rachel_Zhang的“压缩感知”之“”HelloWorld"解读
=================引言====================
看Rachel_Zhang博主的“压缩感知”之“HelloWorld"的Matlab代码有几天了，一直是半知半解，对自己的理解力及数学基础无语了，经过昨晚的琢磨加上今天的理解，算是懂一些了，先写写。
这段代码是香港大学沙威的代码，可以去他的空间看看：~wsha/Freecode/freecode.htm，里面还有一个中文文档，我读了一遍，感觉写的还挺不错的：“压缩传感”引论，里面还有一些其它的资源，打算有空了慢慢琢磨。
还是先把代码贴出来再好好解读吧：
% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)% 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构% 编程人–香港大学电子工程系 沙威 Email: wsha@eee.hku.hk% 编程时间：2008年11月18日% 文档下载: ~wsha/Freecode/freecode.htm % 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching% Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,% DECEMBER 2007.clc;clear%% 1. 时域测试信号生成K=7;% 稀疏度(做FFT可以看出来)N=256; % 信号长度M=64;% 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50; % 信号频率1f2=100; % 信号频率2f3=200; % 信号频率3f4=400; % 信号频率4fs=800; % 采样频率ts=1/fs; % 采样间隔Ts=1:N; % 采样序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号%% 2. 时域信号压缩传感Phi=randn(M,N);% 测量矩阵(高斯分布白噪声)s=Phi*x.';% 获得线性测量 %% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)m=2*K;% 算法迭代次数(m>=K)Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);% 傅里叶正变换矩阵T=Phi*Psi';% 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N);% 待重构的谱域(变换域)向量Aug_t=[];% 增量矩阵(初始值为空矩阵)r_n=s;% 残差值for times=1:m;% 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)for col=1:N;% 恢复矩阵的所有列向量product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);% 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)end[val,pos]=max(product);% 最大投影系数对应的位置Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];% 矩阵扩充T(:,pos)=zeros(M,1);% 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零）aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;% 最小二乘,使残差最小r_n=s-Aug_t*aug_y;% 残差pos_array(times)=pos;% 纪录最大投影系数的位置endhat_y(pos_array)=aug_y;% 重构的谱域向量hat_x=real(Psi'*hat_y.');% 做逆傅里叶变换重构得到时域信号%% 4. 恢复信号和原始信号对比figure(1);hold on;plot(hat_x,'k.-')% 重建信号plot(x,'r')% 原始信号legend('Recovery','Original')norm(hat_x.'-x)/norm(x)% 重构误差
其实这段代码注释已经很详细了，下面结合我在看这段代码时被难住的几个地方加以说明。
========================正文========================
首先把代码中的符号说明一下，这样看起来会省力一些：
上标T表示转置，代码中是英文单引号‘表示转置，其它与代码中符号保持一致。
Phi=randn(M,N);这一句是生成一个测量矩阵，高斯测量矩阵，这个矩阵要和Psi尽可能不相关。
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);这里的稀疏基是一个傅里叶变换矩阵，这里解释一下：
这里得说一下离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）:
上面是DFT离散傅里叶变换对，这里只看正变换即第一个由x(n)变到X(k)的式子，这个式子可以写成矩阵形式：
这里，代码中的fft(eye(N,N))就是这里的WN矩阵，这里是对单位阵eye(N,N)做二维FFT变换，在MATLAB里还可以用dftmtx(N)来实现，当然，实际上dftmtx(N)就是由fft(eye(N,N))来实现的，这里使用的稀疏基Psi是对WN除以sqrt(N)归一化的，即快速傅里叶变换基。
好，基础介绍完了，代码的核心其实是for循环实现正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP），要想看懂代码，必须知道什么是OMP，这里把代码中提到的参考文献中的OMP流程贴出来：
好了，有了OMP算法，开始对应解释代码：
for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)’*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值) end
愚者用肉体监视心灵，智者用心灵监视肉体
