HDU 1098 Ignatiuss Puzzle（解法汇集）

题目链接：?pid=1098题意：

求针对输入的k，能否找到一个最小的a，使得当x取任意自然数时，f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x始终能被65整除。

我的解法：

取f(1),f(2)两个特殊值得。

1. 5+13+k*a=65*T1 ->> k*a=47+65*T3

2. 5*2^13+13*2^5+2*k*a=65*T2 ->> 41376+2*k*a=65*T2 ->> 636*65+36+2*k*a=65*T2 ->> 2*k*a=29+65*T4

由1,2化简的式子做差可得，k*a+18=65*(T4-T3)。

故只需从1开始枚举a的值，到65为止。如果期间有可以整除65的值，，输出，break，找不到，就输出’no’。因为a大于65时，可以将a分成65+x，65可以整除，移到右边，x的情况在前面已经枚举过了，故只要到65即可。

代码：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int k,i;while(scanf("%d",&k)!=EOF){for(i=1;i<=65;i++){if((18+k*i)%65==0){printf("%d\n",i);break;}}if(i>65)printf("no\n");}return 0;}

解法2：原文链接：

思路：题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;用数学归纳法证明：x取任何值都需要能被65整除..

所以我们只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,证明f(x+1)也成立即可。那么把f(x+1)展开，则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 …… …..+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+………..+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;很容易证明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.而f(1)也正好等于18+k*a所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.

代码：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int k,i;while(scanf("%d",&k)!=EOF){for(i=1;i<=10000;i++){if((18+k*i)%65==0){printf("%d\n",i);break;}}if(i>10000)printf("no\n");}return 0;}

解法3：原文链接：

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：

（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)

（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))

（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))

（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)

代码：

//杭电1098Ignatius's puzzle#include<stdio.h>int main(){int k,i,flag;while(scanf("%d",&k)!=-1){for(i=1;i<66;i++){if(i*k%13==8&&i*k%5==2){flag=i;break;}elseflag=0;}if(flag)printf("%d\n",flag);elseprintf("no\n");}return 0;}

解法4：原文链接：

题目大意：方程f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x；输入任意一个数k，是否存在一个数a，对任意x都能使得f(x)能被65整出；输入a；解题报告：假设存在这个数a ,因为对于任意x方程都成立，所以，当x=1时f(x)=18+ka;有因为f(x)能被65整出，这可得出f(x)=n*65;即：18+ka=n*65;若该方程有整数解则说明假设成立。对于方程有整数解：a*x+b*y=m;如a，b的最大公约数为1，则有整数解

代码：如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。

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