目录前言一、原理1.1 最优子结构性质1.2 递归关系二、算法描述2.1 算法描述2.2 图解2.3 构造最优解三、 0 − 1 0-1 0−1 背包问题相关题目3.1 题目3.2 源程序(Java求解 0 − 1 0-1 0−1背包问题)3.3 运行结果总结
前言
给定 n n n 种物品和一个背包。物品 i i i 的重量是 w i wi wi，其价值为 v i vi vi，背包的容量为 c c c。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
一、原理
0 − 0 – 0− 1 1 1 背包问题是一个特殊的整数规划问题。
1.1 最优子结构性质
1.2 递归关系
设所给 0 − 1 0-1 0−1 背包问题的子问题的最优值为 m(i，j)，即 m(i，j)是背包容量为 j，可选择物品为 i，i+1，…，n 时 0-1背包问题的最优值。由 0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算 m(i，j)的递归式如下：
二、算法描述
2.1 算法描述
伪代码：
2.2 图解
2.3 构造最优解
三、 0 − 1 0-1 0−1 背包问题相关题目
3.1 题目
已知有5个物体，它们的重量分别为：2，2，4，5，4，各物体的价值依次为6，3，5，4，6，背包大小为10，使用动态规划法求矩阵m[i][j]，并给出最优解。修改数据为：5个物体，它们的重量分别为：1，1，2，3，2，各物体的价值依次为6，3，5，4，6，背包大小为6，使用动态规划法求矩阵m[i][j]，并给出最优解
3.2 源程序(Java求解 0 − 1 0-1 0−1背包问题)
/** * 0-1背包问题（动态规划法求解） */public class E3_9 { //物品的个数+1(第一个数我写成0) static int N = 6; //static int C = 7; static int C = 11; /** * 程序的入口 * @param args */ public static void main(String[] args) { //int n = N-1; //背包的容量 int c = C-1; int i; //物体的重量 //int w[] = new int[N]; int w[] = new int[]{0,2,2,4,5,4}; //int w[] = new int[]{0,1,1,2,3,2}; //物体的价值 //int v[] = new int[N]; int v[] = new int[]{0,6,3,5,4,6}; //动态规划法求解过程的矩阵 int m[][] = new int[N][C]; //选择的结果 int x[] = new int [N]; // for (i = 1; i < N; i++) { // w[i] = 1+(int) (Math.random()*5); // v[i] = 1+(int) (Math.random()*10); // } knapsack(v,w,c,m); traceback(m,w,c,x); System.out.printf("背包能装的最大价值为："+"%d \n ",m[1][c]); for (i = 1; i <= c; i++) { System.out.printf("%2d \t",i); } System.out.printf("重量 价值\n"); for (i = 1; i < N; i++) { System.out.printf("%d:",i); for (int j = 1; j <= c; j++) { System.out.printf("%2d \t",m[i][j]); } System.out.printf("%2d%4d\n",w[i],v[i]); } System.out.printf("\n\n物品的重量"); for (i = 1; i < N; i++) { System.out.printf("%2d \t",w[i]); } System.out.printf("\n物品的价值"); for (i = 1; i < N; i++) { System.out.printf("%2d \t",v[i]); } System.out.printf("\n选择的结果"); for (i = 1; i < N; i++) { System.out.printf("%2d \t",x[i]); } System.out.printf("\n"); } /** * 由0-1背包问题的最优子结构性质建立的递归式 * @param v 存储物品价值的数组 * @param w 存储物品重量的数组 * @param c 背包容量 * @param m 动态规划法求解过程的矩阵 */ public static void knapsack(int []v,int []w,int c,int [][]m){ int n=v.length-1; int jMax=Math.min(w[n]-1,c); for(int j=0;j<=jMax;j++) m[n][j]=0; for(int j=w[n];j<=c;j++) m[n][j]=v[n]; for(int i=n-1;i>0;i--){ jMax=Math.min(w[i]-1,c); for(int j=0;j<=jMax;j++) m[i][j]=m[i+1][j]; for(int j=w[i];j<=c;j++) m[i][j]=Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); } //m[1][c]=m[2][c]; //对于i=1时的两种情况 if(c>=w[1]) m[1][c]=Math.max(m[2][c],m[2][c-w[1]]+v[1]); else m[1][c]=m[2][c]; } /** * 构造最优解 * @param m 动态规划法求解过程的矩阵 * @param w 存储物体的重量的数组 * @param c 背包容量 * @param x 存储选择结果的数组 */ public static void traceback(int [][]m,int []w,int c,int []x){ int n=w.length-1; for(int i=1;i<n;i++) if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0; else { x[i]=1; c-=w[i]; } x[n]=(m[n][c]>0)?1:0; }}
3.3 运行结果
总结
动态规划基本步骤
找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
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