图像分割之（二）Graph Cut（图割）
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上一文对主要的分割方法做了一个概述。那下面我们对其中几个比较感兴趣的算法做个学习。下面主要是Graph Cut，下一个博文我们再学习下Grab Cut，两者都是基于图论的分割方法。另外OpenCV实现了Grab Cut，具体的源码解读见博文更新。接触时间有限，若有错误，还望各位前辈指正，谢谢。
Graph cuts是一种十分有用和流行的能量优化算法，在计算机视觉领域普遍应用于前背景分割（Image segmentation）、立体视觉（stereo vision）、抠图（Image matting）等。
此类方法把图像分割问题与图的最小割（min cut）问题相关联。首先用一个无向图G=<V，E>表示要分割的图像，V和E分别是顶点（vertex）和边（edge）的集合。此处的Graph和普通的Graph稍有不同。普通的图由顶点和边构成，如果边的有方向的，这样的图被则称为有向图，否则为无向图，且边是有权值的，不同的边可以有不同的权值，分别代表不同的物理意义。而Graph Cuts图是在普通图的基础上多了2个顶点，这2个顶点分别用符号”S”和”T”表示，统称为终端顶点。其它所有的顶点都必须和这2个顶点相连形成边集合中的一部分。所以Graph Cuts中有两种顶点，也有两种边。
第一种顶点和边是：第一种普通顶点对应于图像中的每个像素。每两个邻域顶点（对应于图像中每两个邻域像素）的连接就是一条边。这种边也叫n-links。
第二种顶点和边是：除图像像素外，还有另外两个终端顶点，叫S（source：源点，取源头之意）和T（sink：汇点，取汇聚之意）。每个普通顶点和这2个终端顶点之间都有连接，组成第二种边。这种边也叫t-links。
上图就是一个图像对应的s-t图，每个像素对应图中的一个相应顶点，另外还有s和t两个顶点。上图有两种边，实线的边表示每两个邻域普通顶点连接的边n-links，虚线的边表示每个普通顶点与s和t连接的边t-links。在前后景分割中，s一般表示前景目标，t一般表示背景。
图中每条边都有一个非负的权值we，也可以理解为cost（代价或者费用）。一个cut（割）就是图中边集合E的一个子集C，那这个割的cost（表示为|C|）就是边子集C的所有边的权值的总和。
Graph Cuts中的Cuts是指这样一个边的集合，很显然这些边集合包括了上面2种边，该集合中所有边的断开会导致残留”S”和”T”图的分开，所以就称为“割”。如果一个割，它的边的所有权值之和最小，那么这个就称为最小割，也就是图割的结果。而福特-富克森定理表明，网路的最大流max flow与最小割min cut相等。所以由Boykov和Kolmogorov发明的max-flow/min-cut算法就可以用来获得s-t图的最小割。这个最小割把图的顶点划分为两个不相交的子集S和T，其中s∈S，t∈ T和S∪T=V。这两个子集就对应于图像的前景像素集和背景像素集，那就相当于完成了图像分割。
也就是说图中边的权值就决定了最后的分割结果，那么这些边的权值怎么确定呢？
图像分割可以看成pixel labeling（像素标记）问题，目标（s-node）的label设为1，背景（t-node）的label设为0，这个过程可以通过最小化图割来最小化能量函数得到。那很明显，发生在目标和背景的边界处的cut就是我们想要的（相当于把图像中背景和目标连接的地方割开，那就相当于把其分割了）。同时，这时候能量也应该是最小的。假设整幅图像的标签label（每个像素的label）为L= {l1,l2,,,, lp }，其中li为0（背景）或者1（目标）。那假设图像的分割为L时，图像的能量可以表示为：
E(L)=aR(L)+B(L)
其中，R(L)为区域项（regional term），B(L)为边界项（boundary term），而a就是区域项和边界项之间的重要因子，决定它们对能量的影响大小。如果a为0，那么就只考虑边界因素，不考虑区域因素。E(L)表示的是权值，即损失函数，也叫能量函数，图割的目标就是优化能量函数使其值达到最小。
区域项：
，其中Rp(lp)表示为像素p分配标签lp的惩罚，Rp(lp)能量项的权值可以通过比较像素p的灰度和给定的目标和前景的灰度直方图来获得，换句话说就是像素p属于标签lp的概率，我希望像素p分配为其概率最大的标签lp，这时候我们希望能量最小，所以一般取概率的负对数值，故t-link的权值如下：
Rp(1) = -ln Pr(Ip|’obj’)； Rp(0) = -ln Pr(Ip|’bkg’)
诚实是人生绝妙的法宝。虽然对人诚实，
