Monoid是数学范畴理论（category theory）中的一个特殊范畴（category）。不过我并没有打算花时间从范畴理论的角度去介绍Monoid，而是希望从一个程序员的角度去分析Monoid以及它在泛函编程里的作用。从这个思路出发我们很自然得出Monoid就是一种数据类型，或者是一种在泛函编程过程中经常会遇到的数据类型：当我们针对List或者loop进行一个数值的积累操作时我们就会使用到Monoid。实际上Monoid就是List[A] => A的抽象模型。好了，我们就不要越描越黑了吧，还是看看Monoid的定义吧：
Monoid由以下条件组成：
1、一个抽象类型A
2、一个二元结合性函数（binary associative function），对传入的两个A类参数进行操作后产生一个A类型结果
3、一个恒等值（identity）
由于Monoid是一个数学类型，它的二元操作函数必须遵循一些定律：
1、结合性（associativity）：op(a,op(b,c)) = op(op(a,b),c)：这个定律是函数组合（function composition）不可缺的条件
2、二元函数参数中如果有一个是恒等值时操作结果为另一个参数：op(identity,v) = v
我们可以用编程语言来描述Monoid:
trait Monoid[A] {//被封装的类型A def op(a1: A, a2: A): A //二元函数 val zero: A//恒等值identity }我们用scala的特质（trait）描述了Monoid。它就是一个抽象的数据类型。
既然Monoid trait是个抽象类型，，那么我们可以试着创建几个基础类型的Monoid实例：
val stringConcatMonoid = new Monoid[String] {def op(s1: String, s2: String) = s1 + s2 val zero = "" // op(zero,s2) = "" + s2 = s2 恒等值定律 }//> stringConcatMonoid : ch10.ex1.Monoid[String] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$an//| on$1@3581c5f3 val intAdditionMonoid = new Monoid[Int] { def op(i1: Int, i2: Int) = i1 + i2val zero = 0 }//> intAdditionMonoid : ch10.ex1.Monoid[Int] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$anon$4//| @340f438e val intMultiplicationMonoid = new Monoid[Int] { def op(i1: Int, i2: Int) = i1 * i2 val zero = 1 }//> intMultiplicationMonoid : ch10.ex1.Monoid[Int] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$//| anon$5@30c7da1e可以看出，这几个Monoid实例都符合Monoid定律。那我们可以先试着用用。上面提到Monoid最适合一串值的累加操作List[A] => A，我们可以对List[A]进行操作示范：
def reduce[A](as: List[A])(m: Monoid[A]): A = {as match {case Nil => m.zerocase h::t => m.op(h, reduce(t)(m))} }//> reduce: [A](as: List[A])(m: ch10.ex1.Monoid[A])AMonoid m是个抽象类型，m.zero和m.op()的具体意义要看Monoid的实例了:
reduce(List(1,2,3))(intAdditionMonoid)//> res3: Int = 6 reduce(List("this is ","the string", " monoid"))(stringConcatMonoid)//> res4: String = this is the string monoid对List[A]的具体累加处理是按照intAdditionMonoid和stringConcatMonoid的二元函数功能进行的。看来Monoid特别适用于List类型的循环操作。可以把reduce函数的参数拓展开来看看：
reduce[A](as: List[A])(zero: A)(op: (A,A) => A) : A这个类型款式跟折叠算法的类型款式非常相似：
def foldRight[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B 如果类型B=类型A def foldRight[A](as: List[A])(z: A)(f: (A,A) => A): A实际上我们可以直接用上面的Monoid实例运算折叠算法：
List(1,2,3).foldRight(intAdditionMonoid.zero)(intAdditionMonoid.op)//> res3: Int = 6 List("this is ","the string", " monoid").foldLeft(stringConcatMonoid.zero)(stringConcatMonoid.op)//> res4: String = this is the string monoid左右折叠算法都可以。Monoid的结合性定律（associativity law）可以使List元素运算左右路径相等。
下面我们再试着增加几个Monoid实例：
def optionMonoid[A] = new Monoid[Option[A]] { def op(o1: Option[A], o2: Option[A]): Option[A] = o1 orElse o2 val zero = None // op(zero, o1)= None orElse o2 = o2 }//> optionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]{val zero: None.type} def listConcatMonoid[A] = new Monoid[List[A]] { def op(l1: List[A], l2: List[A]) = l1 ++ l2 val zero = Nil }//> listConcatMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[List[A]]{val zero: scala.collection.//| immutable.Nil.type}val booleanOrMonoid = new Monoid[Boolean] {def op(b1: Boolean, b2: Boolean) = b1 || b2val zero = false}//> booleanOrMonoid : ch10.ex1.Monoid[Boolean] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$anon//| $6@5b464ce8val booleanAndMonoid = new Monoid[Boolean] {def op(b1: Boolean, b2: Boolean) = b1 && b2val zero = true}//> booleanAndMonoid : ch10.ex1.Monoid[Boolean] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$an//| on$7@57829d67def endoComposeMonoid[A] = new Monoid[A => A] {def op(f: A => A, g: A => A) = f compose gval zero = (a: A) => a // op(zero, g: A => A) = zero compose g = g}//> endoComposeMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[A => A]def endoAndThenMonoid[A] = new Monoid[A => A] {def op(f: A => A, g: A => A) = f andThen gval zero = (a: A) => a // op(zero, g: A => A) = zero andThen g = g}//> endoAndThenMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[A => A]//计算m的镜像Monoid def dual[A](m: Monoid[A]) = new Monoid[A] {def op(x: A, y: A) = m.op(y,x) //镜像op即时二元参数位置互换val zero = m.zero}//> dual: [A](m: ch10.ex1.Monoid[A])ch10.ex1.Monoid[A]def firstOfDualOptionMonoid[A] = optionMonoid[A]//> firstOfDualOptionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]{val zero: None.ty//| pe}def secondOfDualOptionMonoid[A] = dual(firstOfDualOptionMonoid[A])//> secondOfDualOptionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]以上几个增加的Monoid实例中endoComposeMonoid和endoAndThenMonoid可能比较陌生。它们是针对函数组合的Monoid。
还是回到对List[A]的累加操作。下面这个函数用Monoid对List[A]元素A进行累加操作：
选择逃避，选择被动的去面对生活。
