BZOJ 1005: [HNOI2008]明明的烦恼 Purfer数列

Purfer数列:

题目大意

自从明明学了树的结构，就对奇怪的树产生了兴趣……

给出标号为 1 到 N 的点，以及某些点最终的度数，允许在任意两点间连线，可产生多少棵度数满足要求的树？

Input

　　第一行为 N(0<N<=1000)，接下来 N 行，第 i+1 行给出第 i 个节点的度数 Di，如果对度数不要求，则输入 -1

Output

　　一个整数，表示不同的满足要求的树的个数，无解输出 0

做法分析

这题需要了解一种数列： Purfer Sequence

我们知道，一棵树可以用括号序列来表示，但是，一棵顶点标号（1~n）的树，还可以用一个叫做Purfer Sequence 的数列表示

一个含有 n 个节点的Purfer Sequence 有 n-2 个数，Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数

一个定理：一个Purfer Sequence 和一棵树一一对应

先看看怎么由一个树得到Purfer Sequence

由一棵树得到它的Purfer Sequence 总共需要 n-2 步，每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点（度为 1），，将与其相连的点的标号设为Purfer Sequence 的第 i 个元素，并将此叶子节点从树中删除，直到最后得到一个长度为 n-2 的Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树

看看下面的例子：

假设有一颗树有 5 个节点，四条边依次为：(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5)，如下图所示：

第 1 步，选取具有最小标号的叶子节点 3，将与它相连的点 1 作为第 1 个Purfer Number，并从树中删掉节点 3：

第 2 步，选取最小标号的叶子节点 1，将与其相连的点 2 作为第 2 个Purfer Number，并从树中删掉点 1：

第 3 步，选取最小标号的叶子节点 4，将与其相连的点 2 作为第 3 个Purfer Number，并从树中删掉点 4：

最后，我们得到的Purfer Sequence为：1 2 2

不难看出，上面的步骤得到的Purfer Sequence 具有唯一性，也就是说，一个树，只能得到一个唯一的Purfer Sequence

接下来看，怎么由一个Purfer Sequence 得到一个树

由Purfer Sequence 得到一棵树，先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1，然后加上它在Purfer Sequence 中出现的次数，得到每个点的度

先执行 n-2 步，每一步，选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连，得到树中的一条边，并将 u 和 v 的度减一

最后再把剩下的两个度为 1 的点连边，加入到树中

我们可以根据上面的例子得到的Purfer Sequence ：1 2 2 重新得到一棵树

Purfer Sequence 中共有 3 个数，可以知道，它表示的树中共有 5 个点，按照上面的方法计算他们的度为下表所示：

第 1 次执行，选取最小标号度为 1 的点 3 和Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边：

将 1 和 3 的度分别减一：

第 2 次执行，选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边：

将 1 和 2 的度分别减一：

第 3 次执行，将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边：

将 2 和 4 的度分别减一：

最后，还剩下两个点 2 和 5 的度为 1，连边：

至此，一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了，由上面的步骤可知，Purfer Sequence 和一个树唯一对应

综上，一个Purfer Sequence和一棵树一一对应

有了Purfer Sequence的知识，这题怎么搞定呢？

先不考虑无解的情况，从Purfer Sequence构造树的过程中可知，一个点的度数减一表示它在Purfer Sequence中出现了几次，那么：

假设度数有限制的点的数量为 cnt，他们的度数分别为：d[i]

另：

那么，在Purfer Sequence中的不同排列的总数为：

而剩下的 n-2-sum 个位置，可以随意的排列剩余的 n-cnt 个点，于是，总的方案数就应该是：

化简之后为：

在有解的情况下，计算该结果输出就行了

无解的情况非常好确定，这里就再讨论了

也许不是自己该去发挥的地方，还是让自己到最适合自己战斗的方面去吧!勇敢的接受自己的失败，