HDU3117 Fibonacci Numbers【数学】

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题目大意:

给你一个整数N(0 <= N <= 10^8),求斐波那契数列第N项F[N]的前四位数字和末尾四位数字。

思路:

斐波那契数列是一个很大的数,直接暴力枚举显然不科学。先考虑末尾4位是否有循环节,写个

程序发现循环节是15000,,直接用数组存储前15000的斐波那契数列的末尾4位。至于斐波那契

数列的前4位。通过计算得出N >= 40之后,F[N]就大于8位数了。对于N < 40的部分可以直接

输出结果,对于N >= 40的部分,考虑公式 F[N] =(1/√5) * ( ((1+√5)/2)^n – ((1-√5)/2)^n )。

设F[N]可表示为t * 10^k(t为一个小数),那么对F[N] = t * 10^k两边分别取对数log10,得到:

log10(F[N]) = log10(t) + k 。log10(t) = log10(F[N]) – k,因为t肯定是小于10的小数,所以,

log10(t) < 1,而且k为整数,那么log10(t)的值就是log10(F[N])去掉整数部分的小数部分。

用pow(10.0,log10(t))求出t。将t*1000取整数部分就得到了F[N]的前4位。

还有一点,求F[N] =(1/√5) * ( ((1+√5)/2)^n – ((1-√5)/2)^n )的时候,因为N>=40的时候,

((1-√5)/2)^n已经是一个非常小的小数(小数点后10位左右),所以可以直接忽略。这样子,

F[N] ≈(1/√5) * ((1+√5)/2)^n。log10(F[N])化简为:1/sqrt(5.0) + N*log10(1+(sqrt(5.0))/2.0)。

AC代码:

人生重要的不是所站的位置,而是所朝的方向

HDU3117 Fibonacci Numbers【数学】

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