本文会涉及到一些和直方图均衡相关的公式推导以及编程实现，这部分内容在这以下这篇博文中已经详细说明过了：
【图像处理笔记】正方图均衡
直方图均衡化，可以无需参数，自动寻找变换函数，从而自动的的增强整个图像的对比度，简单易行便于实现，结果可预知，但是增强的效果不受控制，处理的结果总是得到全局均衡化的直方图。
而实际上呢，有时候，我们需要变换直方图，使之成为某个特定的形状，从而有选择的增强某个灰度范围内的对比度。这时，就可以采用本文介绍的这种，比较灵活的直方图匹配（直方图规定划）。
现在，我们暂时回到连续灰度r 和z （看成是连续的随机变量）并且Pr（r）和Pz（z）表示它们所对应的连续概率密度函数。在这种表示方法中，r 和z 分别代表输入图像和输出图像的灰度级。我们可以由给定的输入图像估计出Pr（r），而Pz（z）是我们希望输出图像所具有的指定概率密度函数。
令S为一个有着如下特性的随机变量：
w为积分假变量。上式是直方图均衡的连续形式。
接着我们定义一个有如下特性的随机变量Z：
其中，t为积分假变量。
由以上两个等式可知，G（z） = T（r），因此，z也必须满足以下的条件
一旦由输入图像估计出Pr（r），变换函数T（r）就可以由
得到。
类似地，因为Pz（z）已知，变换函数G（z）可由
得到。
上面的证明过程表明，按照上面的步骤，可由一幅给定图像得到一幅其灰度级具有给定概率密度函数的图像。
直方图规定化，在原理上并不复杂，但是有一个困难是寻找T（r）和G-1的有意义的表达式。
幸运的是，在处理离散量时，问题可以被大大的简化。处理离散量时，仅希望得到一个近似的直方图，所以付出的代价与直方图均衡一样。不去考虑这些代价的话，我们可以得到一些非常有用的结果，尽管是粗糙近似的。
离散形式的直方图均衡如下
MN是图像的像素总数，
nj是灰度值rj 的像素的个数。
类似地，给定一个规定的Sk值
对于一个q值，有G（Zq） = Sk
其中，Pz（Zi）是规定的直方图的第i个值。
与前面一样，我们用反变换找到期望的值Zq：
换句话说，该操作对每个S给出一个Z值，这样，就形成了从S到Z的一个映射。
我们可以总结直方图规定化的变换过程如下：
①计算给定图像的值反图Pr（r），并对他进行直方图均衡变换。把Sk的结果四舍五入为[0，L – 1]内的整数，并存入一个表中。
②用
变换q = 0,1,2，…，L – 1，Pz（Zi）是规定的直方图的值，并存入一个表中。
③对于每一个值Sk，使用②存储的值寻找相应的Zq值，使G（Zq）最接近Sk，，并存储这些从S到Z的映射。
下面是我用vb实现的直方图规定化：
首先对比一下原图与直方图均衡化后的结果。
原图直方图均衡化后的结果
分析：
直方图均衡化后的图像对比度明显增加了，但是边角部分阴影加重了。
因此想降低这部分PDF的斜率，或许可以增加图片的质量。
红色部分是我想规定的变换后的PDF。
Pz（Z）我假定为以下的分段函数
{
0.5 * Z + 60 , ( 0 , 80 ],
2.6 * Z – 108 , ( 80 , 140 ],
– 2.09 * Z + 547.6 , ( 140 , 255 ]
}
这一部分理解的不太到位，也不知道我假定的PDF是否可以改善图像。以后对这部分有更深的理解的时候再来补充~
欢迎留言指教~
'直方图规定化'先对图像进行直方图均衡Dim img As New Image(Of Gray, Byte)("C:\图像处理实验\test1.bmp")Dim height As Integer = img.HeightDim width As Integer = img.Width'统计每级灰度的像素个数Dim pixelCounts(255) As IntegerFor i = 0 To height – 1For j = 0 To width – 1pixelCounts(img.Data(i, j, 0)) = pixelCounts(img.Data(i, j, 0)) + 1NextNext'统计每级灰度的累计像素个数Dim pixelAccumulative(255) As IntegerFor i = 0 To 255For j = 0 To ipixelAccumulative(i) = pixelAccumulative(i) + pixelCounts(j)NextNext'根据像素的灰度值映射到新的灰度值For i = 0 To height – 1For j = 0 To width – 1img.Data(i, j, 0) = (256 – 1) / (width * height) * pixelAccumulative(img.Data(i, j, 0))NextNextFor i = 0 To 255pixelAccumulative(i) = (256 – 1) / (width * height) * pixelAccumulative(i)Next'计算变换函数的PDF'Pz(Z) = {'0.5 * Z + 60 , ( 0 , 80 ],'2.6 * Z – 108 , ( 80 , 140 ],'- 2.09 * Z + 547.6 , ( 140 , 255 ]'}For i = 0 To 255If i <= 80 ThenpixelPz(i) = 0.5 * i + 60ElseIf i <= 140 ThenpixelPz(i) = 2.6 * i – 108ElsepixelPz(i) = -2.09 * i + 547.6End IfNextDim sumPz As Double = 0For i = 0 To 255sumPz = sumPz + pixelPz(i)NextFor i = 0 To 255pixelPz(i) = pixelPz(i) / sumPzNext'计算GDim pixelG(255) As IntegerFor i = 0 To 255For j = 0 To ipixelG(i) = pixelG(i) + pixelPz(j) * (256 – 1)NextNext'映射Dim pixelSkZq(255) As IntegerFor i = 0 To 255Dim Sk = pixelAccumulative(i)Dim flage As Boolean = FalseFor j = 0 To 255If pixelG(j) = Sk ThenpixelSkZq(i) = jflage = TrueExit ForEnd IfNextIf flage = False ThenFor j = 0 To 255If j = 255 ThenpixelSkZq(i) = jExit ForEnd IfIf pixelG(j) < Sk And pixelG(j + 1) > Sk ThenpixelSkZq(i) = jflage = TrueExit ForEnd IfNextEnd IfNext'根据像素的灰度值映射到新的灰度值For i = 0 To height – 1For j = 0 To width – 1img.Data(i, j, 0) = pixelSkZq(img.Data(i, j, 0))NextNextimg.Save("C:\图像处理实验\直方图匹配\test_result.bmp")以下是直方图匹配的结果与直方图均衡的结果比较
从结果上来看，实验失败了。图片的效果并没有增强。
我分析的原因可能是指定的灰度值密度变换函数并不恰当，并不能有效的改善图像。但也有可能是我对直方图匹配理解有误导致的算法的错误。有想法的同学欢迎留言指教。
直方图规定化，大多数时候，都是试凑的过程。
一般来说，并没有规定直方图的规则，对于任何一个给定的增强任务，都必须借助于实际分析。
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他们不计后果的彼此拥抱，握紧双手，怕天会亮，怕爱会走。
