快速幂取模算法
在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是
所谓的快速幂，实际上是。[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊，所以在这里对本文进行了修改，作了更详细的补充，争取让更多的读者一目了然]
我们先从简单的例子入手：求=几。
算法1.首先直接地来设计这个算法：
intans=1;
for(inti=1;i<=b;i++)
{
ans=ans*a;
}
ans=ans%c;
这个算法的时间复杂度体现在.
那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：
.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：
引理1：
上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后，我们可以先让
于是不用思考的进行了改进：
算法2：
intans=1;
a=a%c;//加上这一句
for(inti=1;i<=b;i++)
{
ans=ans*a;
}
ans=ans%c;
聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
算法3：
intans=1;
a=a%c;//加上这一句
for(inti=1;i<=b;i++)
{
ans=(ans*a)%c;//这里再取了一次余
}
ans=ans%c;
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在。
快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。
有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：
1.如果2modc就可以了。
2.如果2modc，那么求
((k)b/2modc就可以了。
那么我们可以得到以下算法：
算法4：
intans=1;
a=a%c;
if(b%2==1)
ans=(ans*a)modc;
k=(a*a)%c;
for(inti=1;i<=b/2;i++)
{
ans=(ans*k)%c;
}
ans=ans%c;
我们可以看到，我们把时间复杂度变成了b/2modc。当然，对于奇数的情形会多出一项
ans=(ans*a)%c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后，当的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。
算法5：快速幂算法
intans=1;
a=a%c;
while(b>0)
{
if(b%2==1)
ans=(ans*a)%c;
b=b/2;
a=(a*a)%c;
}
将上述的代码结构化，也就是写成函数：
intPowerMod(inta,intb,intc)
{
intans=1;
a=a%c;
while(b>0)
{
if(b%2==1)
ans=(ans*a)%c;
b=b/2;
a=(a*a)%c;
}
returnans;
}
以下内容仅供参考：
扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。
=？求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：
将
那么，实际上，.
所以
注意此处的要么为，那么这一项就是依次乘到。对于每一项的计算，，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时
By夜せ︱深
此刻睡觉的口水将变成明天流下的泪水。
