灰度图像的自动阈值分割（Otsu 法）
机器视觉领域许多算法都要求先对图像进行二值化。这种二值化操作阈值的选取非常重要。阈值选取的不合适，可能得到的结果就毫无用处。今天就来讲讲一种自动计算阈值的方法。这种方法被称之为Otsu法。发明人是个日本人，叫做Nobuyuki Otsu (大津展之）。 简单的说，这种算法假设一副图像由前景色和背景色组成，通过统计学的方法来选取一个阈值，使得这个阈值可以将前景色和背景色尽可能的分开。或者更准确的说是在某种判据下最优。与数理统计领域的 fisher 线性判别算法其实是等价的。
otsu算法中这个判据就是最大类间方差 (intra-class variance or the variance within the class)。下面就来详细说说什么是 intra-class variance。
我们知道一副灰度图像，可以计算它的颜色平均值，或者更进一步。可以计算出灰度直方图。
比如下面的例子图片：
这个图片拍摄的是一个条形码。在这个图中，前景色就是黑色的条形码，背景色是其余部分的灰色。那么我们可以计算出这个图像的灰度直方图。
图中那个大的峰是背景色的部分，小的峰是前景色。
灰度值的均值是 122. 我们称这个均值为 M。
现在任意选取一个灰度值 t，则可以将这个直方图分成前后两部分。我们称这两部分分别为 A 和 B。对应的就是前景色和背景色。这两部分各自的平均值成为 MA 和 MB。 A 部分里的像素数占总像素数的比例记作 PA，B部分里的像素数占总像素数的比例记作 PB。 Nobuyuki Otsu 给出的类间方差定义为：
那么这个最佳的阈值 最大的那个值。 对于上面的测试图像，我们可以遍历 t 的各种取值，计算 ICV。之后可以画出这样的ICV 曲线（绿色线条）：
可以看出，，ICV 取最值的点确实将前景色和背景色分开了。 下面是个例子代码，用到了 Qt 的QImage。
int otsu(const QImage &image){double hist[256];normalizedHistogram(image, hist);double omega[256];double mu[256];omega[0] = hist[0];mu[0] = 0;for(int i = 1; i < 256; i++){omega[i] = omega[i-1] + hist[i]; //累积分布函数mu[i] = mu[i-1] + i * hist[i];}double mean = mu[255];// 灰度平均值double max = 0;int k_max = 0;for(int k = 1; k < 255; k++){double PA = omega[k]; // A类所占的比例double PB = 1 – omega[k]; //B类所占的比例double value = 0;if( fabs(PA) > 0.001 && fabs(PB) > 0.001){double MA = mu[k] / PA; //A 类的灰度均值double MB = (mean – mu[k]) / PB;//B类灰度均值value = PA * (MA – mean) * (MA – mean) + PB * (MB – mean) * (MB – mean);//类间方差if (value > max){max = value;k_max = k;}}//qDebug() <<k << ” ” << hist[k] << ” ” << value;}return k_max;}bool normalizedHistogram(const QImage &image, double hist[256]){for(int i = 0; i < 256; i++){hist[i] = 0.0;}int height = image.height();int width = image.width();int N = height * width;if(image.format() != QImage::Format_Indexed8){return false;}for(int i = 0; i < height; i++){const quint8 *pData = (const quint8 *)image.constScanLine(i);for(int j = 0; j < width; j++){++hist[ pData[j] ];}}for(int i = 0; i < 256; i++){hist[i] = hist[i] / N;}return true;}
利用这个方法计算出的阈值做了二值化后得到图像如下：
可以看到效果很好。
Otsu 方法也不是万能的。当目标与背景的大小比例悬殊时，类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，此时效果不好。这时就要考虑其他的办法了。
其实，我们可以仔细观察 ICV 的计算公式。
往事是尘封在记忆中的梦，而你是我唯一鲜明的记忆，
