整数的所有不同分割数目

整数的所有不同分割数目—-2013年2月15日

问题描述:把一个正整数写成若干个正整数的和。比如4=3+1，2+2，2+1+1，香港服务器，1+1+1+1，再加上自己，就一共有5种分割方式。

思路:求解4的所有分割方式，实际上就是求分割中以4为最大值而且和为4的所有分割方式，可以用p[4][4]来表示。抽象出来，就是p[n][m],表示分割中以m为最大值而且和为n的所有分割方式。那么，就有以下几种情况。

1.第一步当然是n==m，所以第一个分割肯定是n本身了。最大值为n的分割肯定只有一个，所以接下来，就要求p[n][m-1]了。归纳出来：p[n][m]=p[n][m-1]+1;

2.从第一步m-1后，n肯定是大于m了。所以，p[n][m]的分割中，服务器空间，要么不含m，比如p[4][2],4可以分割成1+1+1+1,这就不含2。这样的话最大值就是1，也就是m-1，所以这种情况归纳出来就是p[n][m-1]；要么含一个或以上m，比如2+2，这样的话p[n][m]=p[n-m][m],或者p[n-2m][m]……因为剔除掉若干个m，数目是一样的。

3.通过以上分析，可以很明显的看出这个程序可以用递归写出来。写递归，关键的一点就是递归结束的条件。在这里比较简单，就是p[n][1]=1,p[1][m]=1了。还要注意，n<m没什么意义，所以这里把n<m时的p[n][m]直接定义成p[n][n]；

归纳一下，递归的详细步骤如下:

1.n==1 || m==1 p[n][m]=1

2.n==m p[n][n]=p[n][m-1]+1

3.n>m p[n][m]=p[n][m-1]+p[n-m][m]

4.n<m p[n][m]=p[n][n]

代码如下:

1 #include <stdio.h> 2 #define MAX 1000p[MAX][MAX]={0};process(int n,int m); main()10 {11int n=4; 12int result=process(n,n);13result=p[n][n];,result);;16 17 }process(int n,int m)20 {(p[n][m]=1);(p[n][m]=process(n,n));25if(p[n][m]!=0)26return p[n][m];27if(n==m)28return (p[n][m]=1+process(n,m-1));29return (p[n][m]=process(n,m-1)+process(n-m,m));30 }

参考资料:《C语言精选名题百则技巧篇》

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