在解决一些简单的分类问题时，线性回归与逻辑回归就足以应付，但面对更加复杂的问题时（例如对图片中车的类型进行识别），运用之前的线性模型可能就得不到理想的结果，而且由于更大的数据量，之前方法的计算量也会变得异常庞大。因此我们需要学习一个非线性系统：神经网络。
我在学习时，主要通过Andrew Ng教授提供的网络，而且文中多处都有借鉴Andrew Ng教授在mooc提供的资料。
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神经网络在解决一些复杂的非线性分类问题时，相对于线性回归、逻辑回归，都被证明是一个更好的算法。其实神经网络也可以看做的逻辑回归的组合（叠加，级联等）。
一个典型神经网络的模型如下图所示：
上述模型由3个部分组成：输入层、隐藏层、输出层。其中输入层输入特征值，输出层的输出作为我们分类的依据。例如一个20*20大小的手写数字图片的识别举例，那么输入层的输入便可以是20*20=400个像素点的像素值，即模型中的a1；输出层的输出便可以看做是该幅图片是0到9其中某个数字的概率。而隐藏层、输出层中的每个节点其实都可以看做是逻辑回归得到的。逻辑回归的模型可以看做这样（如下图所示）：
有了神经网络的模型，我们的目的就是求解模型里边的参数theta，为此我们还需知道该模型的代价函数以及每一个节点的“梯度值”。
代价函数的定义如下：
代价函数关于每一个节点处theta的梯度可以用反向传播算法计算出来。反向传播算法的思想是由于我们无法直观的得到隐藏层的输出，但我们已知输出层的输出，通过反向传播，倒退其参数。
我们以以下模型举例，来说明反向传播的思路、过程：
该模型与给出的第一个模型不同的是，它具有两个隐藏层。
为了熟悉这个模型，我们需要先了解前向传播的过程，对于此模型，前向传播的过程如下：
其中，，a1，z2等参数的意义可以参照本文给出的第一个神经网络模型，类比得出。
然后我们定义误差delta符号具有如下含义（之后推导梯度要用）：
我们可以沿途用镜头记录彼此的笑脸，和属于我们的风景。
