马尔科夫过程可以看做是一个自动机，以一定的概率在各个状态之间跳转。
考虑一个系统，在每个时刻都可能处于N个状态中的一个，N个状态集合是 {S1,S2,S3,…SN}。我们现在用q1,q2,q3,…qn来表示系统在t=1,2,3,…n时刻下的状态。在t=1时，系统所在的状态q取决于一个初始概率分布PI，PI(SN)表示t=1时系统状态为SN的概率。
马尔科夫模型有两个假设：
1.系统在时刻t的状态只与时刻t-1处的状态相关；（也称为无后效性）
2.状态转移概率与时间无关；（也称为齐次性或时齐性）
第一条具体可以用如下公式表示：
P(qt=Sj|qt-1=Si,qt-2=Sk,…)= P(qt=Sj|qt-1=Si)
其中，t为大于1的任意数值，Sk为任意状态
第二个假设则可以用如下公式表示：
P(qt=Sj|qt-1=Si)= P(qk=Sj|qk-1=Si)
其中，k为任意时刻。
下图是一个马尔科夫过程的样例图：
可以把状态转移概率用矩阵A表示，矩阵的行列长度均为状态数目，aij表示P(Si|Si-1)。
隐马尔科夫过程
与马尔科夫相比，隐马尔科夫模型则是双重随机过程，不仅状态转移之间是个随机事件，状态和输出之间也是一个随机过程，如下图所示：
此图是从别处找来的，可能符号与我之前描述马尔科夫时不同，相信大家也能理解。
该图分为上下两行，上面那行就是一个马尔科夫转移过程，下面这一行则是输出，即我们可以观察到的值，现在，我们将上面那行的马尔科夫转移过程中的状态称为隐藏状态，下面的观察到的值称为观察状态，观察状态的集合表示为 O={O1,O2,O3,…OM}。
相应的，隐马尔科夫也比马尔科夫多了一个假设，即输出仅与当前状态有关，可以用如下公式表示：
P(O1,O2,…,Ot|S1,S2,…,St)=P(O1|S1)*P(O2|S2)*…*P(Ot|St)
其中，O1,O2,…,Ot为从时刻1到时刻t的观测状态序列，S1,S2,…,St则为隐藏状态序列。
另外，该假设又称为输出独立性假设。
举个例子
举个常见的例子来引出下文，同时方便大家理解！比如我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，天气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，事情集合为{宅着，自习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B)和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么则有几个问题要问（注意，，假设一天我那几件事情中的一件），
1.假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那么我这一周 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概率是多大？
2.假如我这一周做事序列是 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，
不知道天气状态的情况下这个做事序列的概率是多大？
3.假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那我们这一周最有可能的做事序列是什么？
4.假如我这一周做事序列是 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，那么这一周的天气变化序列最有可能是什么？
对于第一个问题，我想大家应该都能很快知道怎么算。（啥？不知道，答案在本文最后）
隐马模型基本要素及基本三问题
综上所述，我们可以得到隐马尔科夫的基本要素，即一个五元组{S,N,A,B,PI}；
S：隐藏状态集合；
N：观察状态集合；
A：隐藏状态间的转移概率矩阵；
B：输出矩阵（即隐藏状态到输出状态的概率）；
PI：初始概率分布（隐藏状态的初始概率分布）；
其中，A,B,PI称为隐马尔科夫的参数，用X表示。
由上述问题可以引出隐马尔科夫的三个基本问题的其中两个，下文中为了简便，将隐马尔科夫模型简称为HMM(Hiden Markov Model)。
HMM的三个基本问题是：
1.给定模型（五元组），求某个观察序列O的概率（样例问题2）
2.给定模型和观察序列O，求可能性最大的隐藏状态序列（样例问题4）。
3.对于给定的观察序列O，调整HMM的参数，使观察序列出现的概率最大。
前向算法对于第一个基本问题，计算公式为：
即对于观察序列O，我们需要找出所有可能的隐藏状态序列S，计算出在给定模型下S输出为O的概率（就是样例问题一啊），然后计算概率之和。
直观上看，假如序列O的长度为T，模型的隐藏状态集合大小为N，那么一共有NT个可能的隐藏状态序列，计算复杂度极高O(NT)，暴力算法太慢了。
解决方案就是动态规划（Dynamic Programming）。
假设观察序列为O1,O2,O3,….,Ot. 在时刻i（1<i<=t）时，定义C为产生序列O1,O2,…,Oi且Si=Sk的概率：
其中，Sk为任意一个隐藏状态值。
则C(i+1,Or)的计算公式为：
其中，Sr为任意一个隐藏状态值。A为转移概率。B为隐藏状态到观察状态的概率。为了便于理解，还是看图：
C(3,下雨)考虑了t=1和t=2的所有组合情况，同时也是C(4,下雨|阴天|晴天)的子问题。C(3,阴天)和C(3,晴天)也是如此计算，而C(i+1,Sr)计算公式则可以表示成：
由图知：C(4,阴天)=[C(3,下雨)*A(下雨,阴天)+C(3,阴天)*A(阴天,阴天)+C(3,晴天)*A(晴天,阴天)]*B(阴天,自习)。
你在雨中行走，你从不打伞，你有自己的天空，它从不下雨。
