尽管排列组合是生活中经常遇到的问题，可在程序设计时，不深入思考或者经验不足都让人无从下手。由于排列组合问题总是先取组合再排列，并且单纯的排列问题相对简单，所以本文仅对组合问题的实现进行详细讨论。以在n个数中选取m(0<m<=n)个数为例，问题可分解为：1. 首先从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。2. 从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。很明显，上述方法是一个递归的过程，，也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组合。下面是递归方法的实现：/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。/// a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。/// b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，/// 常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。void combine( int a[], int n, int m, int b[], const int M ){for(int i=n; i>=m; i–) // 注意这里的循环范围{b[m-1] = i – 1;if (m > 1)combine(a,i-1,m-1,b,M);else // m == 1, 输出一个组合{for(int j=M-1; j>=0; j–)cout << a[b[j]] << " ";cout << endl;}}}
因为递归程序均可以通过引入栈，用回溯转化为相应的非递归程序，所以组合问题又可以用回溯的方法来解决。为了便于理解，我们可以把组合问题化归为图的路径遍历问题，在n个数中选取m个数的所有组合，相当于在一个这样的图中（下面以从1,2,3,4中任选3个数为例说明）求从[1,1]位置出发到达[m,x](m<=x<=n)位置的所有路径：1 2 3 4 2 3 4 3 4上图是截取n×n右上对角矩阵的前m行构成，如果把矩矩中的每个元素看作图中的一个节点，我们要求的所有组合就相当于从第一行的第一列元素[1,1]出发，到第三行的任意一列元素作为结束的所有路径，规定只有相邻行之间的节点，并且下一行的节点必须处于上一行节点右面才有路径相连，其他情况都无路径相通。显然，任一路径经过的数字序列就对应一个符合要求的组合。下面是非递归的回溯方法的实现：/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。/// a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。/// 返回所有组合的总数。int combine(int a[], int n, int m){ m = m > n ? n : m;int* order = new int[m+1]; for(int i=0; i<=m; i++) order[i] = i-1; // 注意这里order[0]=-1用来作为循环判断标识int count = 0; int k = m;bool flag = true; // 标志找到一个有效组合while(order[0] == -1){ if(flag) // 输出符合要求的组合 { for(i=1; i<=m; i++) cout << a[order[i]] << " "; cout << endl; count++; flag = false; }
order[k]++; // 在当前位置选择新的数字 if(order[k] == n) // 当前位置已无数字可选，回溯 { order[k–] = 0; continue; } if(k < m) // 更新当前位置的下一位置的数字 { order[++k] = order[k-1]; continue; } if(k == m) flag = true;}
delete[] order;return count;}
下面是测试以上函数的程序：int main(){const int N = 4;const int M = 3;int a[N];for(int i=0;i<N;i++)a[i] = i+1;
// 回溯方法cout << combine(a,N,3) << endl;
// 递归方法int b[M];combine(a,N,M,b,M);
return 0;}由上述分析可知，解决组合问题的通用算法不外乎递归和回溯两种。在针对具体问题的时候，因为递归程序在递归层数上的限制，对于大型组合问题而言，递归不是一个好的选择，这种情况下只能采取回溯的方法来解决。
对于沙漠中的旅行者，最可怕的不是眼前无尽的荒漠，而是心中没有绿洲。
