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青蛙的约会
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Time Limit: 1000MSMemory Limit: 10000K Total Submissions: 94174Accepted: 17412 Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。 Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible” Sample Input
1 2 3 4 5 Sample Output
4 Source
浙江
这是一道经典的解同余方程的题；
首先我来回顾下欧几里德的几个定理，有助于理解这道题；
定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使 d = a*x+ b*y。
定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。
定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d – 1]上有唯一解。
证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d – 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d – 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d – 1]上有唯一解。
如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令m = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % m + m) %m就可以求出最小非负整数解x了！（X % m可能是负值，此时保持在[-(m-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2m-1]内，所以再模一下r就在[0, m-1]内了）。
那么什么时候无解呢？仔细想想…….那就是： c=k*d =[ a*x+ b*y ]*kSo 当c是d=gcd(a,b)的约数时候，就有唯一解！
思路：
两只青蛙跳一次所花费的时间相同，我们设其为t，则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，y+nt是青蛙B跳的距离，要想碰面，则他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*L；
则：(x+mt)-(y+nt)=kl; 变形得：(n-m)t-(x-y)=kL;即有(n-m)t mod L=x-y;为线性同余方程。
此方程有解当且仅当x-y是n-m和L的最小公倍数的约数(记为gcd(n-m,L)),即
(x-y)%gcd(n-m,L)==0。这时，如果x0是方程的一个解，即当t=x0时，(n-m)t mod L=x-y成立，那么所有的解可以表示为：
{x0+k(L/gcd(m-n,L))|(k∈整数)}。
//即：ax+bx=c; d=gcd(a,b); 那么a*(x0+k*(b/d))+b*(y0-k*(a/d))=c
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#include<stdio.h>#define LL __int64void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){if(!b)d=a,x=1,y=0;else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}int main(){LL xx,yy,m,n,l;”,&xx,&yy,&m,&n,&l)!=EOF){LL d,x,y;LL aa,bb,cc,mm;aa=n-m;bb=l;cc=xx-yy;exgcd(aa,bb,d,x,y); \n”,d,x,y);if(cc%d) printf(“Impossible\n”);else{x=x*(cc/d);mm=bb/d;x=(x%mm+mm)%mm;printf(“%I64d\n”,x);}}return 0;}
但没有一个创造奇迹的人是依靠瞬间的。
