后缀数组原理及应用详解
在pongba的讨论组上看到一道Amazon的面试题：找出给定字符串里的最长回文。例子：输入XMADAMYX。则输出MADAM。这道题的流行解法是用后缀树（Suffix Tree)。这坨数据结构最酷的地方是用它能高效解决一大票复杂的字符串编程问题：
1.在文本T里查询T是否包含子串P（复杂度同流行的KMP相当）。
2.文本T里找出最长重复子串。比如abcdabcefda里abc同da都重复出现，而最长重复子串是abc。
3.找出字符串S1同S2的最长公共子串。注意不是常用作动态规划例子的LCS（最低共有祖先）哈。比如字符串acdfg同akdfc的最长公共子串为df，而他们的LCS是adf。
4.Ziv-Lampel无损压缩算法。
5.还有就是这道面试题问的最长回文了。
虽说后缀树的概念独立于Trie的概念，但我觉得从Trie推出后缀树自然简洁，所以先简单解释一下Trie。它的用途主要是字符串查询。不过词汇变迁多半比较诡异，Trie不发tree的音，而发try的音。
Trie是坨简单但实用的数据结构，通常用于实现字典查询。我们做即时响应用户输入的AJAX搜索框时，就是Trie开始。谁说学点数据结构没用来 着？本质上，Trie是一颗存储多个字符串的树。相邻节点间的边代表一个字符，这样树的每条分支代表一则子串，而树的叶节点则代表完整的字符串。和普通树 不同的地方是，相同的字符串前缀共享同一条分支。还是例子最清楚。给出一组单词，inn, int, at, age, adv, ant, 我们可以得到下面的Trie：
可以看出：
每条边对应一个字母。
每个节点对应一项前缀。叶节点对应最长前缀，即单词本身。
单词inn与单词int有共同的前缀“in”, 因此他们共享左边的一条分支，root->i->in。同理，ate, age, adv, 和ant共享前缀"a"，所以他们共享从根节点到节点"a"的边。
查询非常简单。比如要查找int，顺着路径i -> in -> int就找到了。
搭建Trie的基本算法也很简单，无非是逐一把每则单词的每个字母插入Trie。插入前先看前缀是否存在。如果存在，就共享，否则创建对应的节点和边。比如要插入单词add，就有下面几步：
考察前缀"a"，发现边a已经存在。于是顺着边a走到节点a。
考察剩下的字符串"dd"的前缀"d"，发现从节点a出发，已经有边d存在。于是顺着边d走到节点ad
考察最后一个字符"d"，这下从节点ad出发没有边d了，于是创建节点ad的子节点add，并把边ad->add标记为d。
继续插播广告。Graph作图软件Graphviz还不错，用的DSL相当简单。上面的图就是用它做的。三步就够了：
实现Trie数据结构。这步不用花哨。10行代码，一坨hash足矣。
把上面的结构翻译成Graphviz的DSL。简单的深度优先足矣。
调用Graphviz的命令。图就生成乐。
多花20分钟，避免了手工作图排版的自虐行为。而且可以自由试验各式例子而不用担心反复画图的琐碎，何乐而不为嗫？
有了Trie，后缀树就容易理解了。先说说后缀的定义。给定一长度为n的字符串S=S1S2..Si..Sn，和整数i，1 <= i <= n，子串SiSi+1…Sn都是字符串S的后缀。以字符串S=XMADAMYX为例，它的长度为8，所以S[1..8], S[2..8], … , S[8..8]都算S的后缀，我们一般还把空字串也算成后缀。这样，我们一共有如下后缀。对于后缀S[i..n]，我们说这项后缀起始于i。
S[1..8], XMADAMYX， 也就是字符串本身，起始位置为1
S[2..8], MADAMYX，起始位置为2
S[3..8], ADAMYX，起始位置为3
S[4..8], DAMYX，起始位置为4
S[5..8], AMYX，起始位置为5
S[6..8], MYX，起始位置为6
S[7..8], YX，起始位置为7
S[8..8], X，起始位置为8
空字串。记为$。
而后缀树，就是包含一则字符串所有后缀的压缩Trie。把上面的后缀加入Trie后，我们得到下面的结构：
仔细观察上图，我们可以看到不少值得压缩的地方。比如蓝框标注的分支都是独苗，没有必要用单独的节点同边表示。如果我们允许任意一条边里包含多个字 母，就可以把这种没有分叉的路径压缩到一条边。另外每条边已经包含了足够的后缀信息，我们就不用再给节点标注字符串信息了。我们只需要在叶节点上标注上每 项后缀的起始位置。于是我们得到下图：
这样的结构丢失了某些后缀。比如后缀X在上图中消失了，因为它正好是字符串XMADAMYX的前缀。为了避免这种情况，我们也规定每项后缀不能是其 它后缀的前缀。要解决这个问题其实挺简单，在待处理的子串后加一坨空字串就行了。例如我们处理XMADAMYX前，先把XMADAMYX变为 XMADAMYX$，于是就得到suffix tree乐。
头脑心灵再加上双脚的才是推销员。
