如何理解离散傅里叶变换（一）
——实数形式傅里叶变换
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本文作者：随煜而安 二零一五年五月二十三日
原创作者：July、dznlong
推荐阅读：
1.The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D。。
2.July大神博客点击打开链接
3.dznlong大神博客 点击打开链接
4.高等数学/数学分析中关于傅里叶级数，三角函数正交系的部分内容
5.深入浅出的讲解傅里叶变换（个人感觉讲的一般，但是配图很形象帮助理解） 点击打开链接
说明：
I、本文中阐述的离散傅里叶变换方法是July、dznlong 两位根据此书：The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D.而翻译而成的，此书地址：。
II、同时，有相当一部分内容编辑整理自dznlong、July两位的博客，本文是根据两人文章的思路添加上一些个人的想法以及补充一些细节的成果。上面也贴出了其博客地址，向原创的作者表示致敬。
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谈谈傅里叶变换
开始进入正题：
“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”—dznlong，
那么，到底什么是傅里叶变换算法?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?这篇文章我借鉴两位大神的思路，并且先不列出一些复杂的公式，一步一步的引出我们要研究的东西，尽量做到通俗易懂。
傅里叶变换的提出：
傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。 当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表，而后在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。
我们观察下图，直观的感受一下这个决断和傅里叶变换究竟在做怎样的一件事情。（图片来自：点击打开链接）
在这两几幅图中，分别代表了两个傅里叶变换。最前面黑色的线代表的就是要进行变换的时域上的函数f（t），它可以表示成后面所有彩色表示的正弦波叠加而成的总和。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为f（t）的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，在两个正弦波之间可能还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的，或者说时域上的函数f（t）中不含有这种对应频率的分量。来看一个更为详细一些的图：
对于每个正弦波分量，如果我们只看它的频率和幅值。那么对于所有分量，就形成了一个以频率为自变量，幅值为因变量的频率域上的函数F（w），也就是频域图像。这时，一个时域——频域的映射就形成了。这个例子中我们可以看出，一个时域上的近似矩形波被分解成了不同频率分量的正弦波，反过来看，一些不同频率的正弦波叠加成了一个矩形波。要注意的是，在实际中通常是将时域的函数变换为不同频率的正弦波和余弦波的叠加，而不仅仅是一些正弦波的叠加，尽管这并没有什么不同，因为我们知道正余弦是可以互相表示的。
到此，在没有任何公式的情况下，我们也大概知晓了傅里叶变换在做怎样的一件事情。
傅立叶变换分类
根据原信号的不同类型，，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：1、非周期性连续信号 傅立叶变换（Fourier Transform）2、周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series)立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）4、周期性离散信号 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)
现在我们要列出一些公式了，先观察即可，后面会做出详细的解释。
1.连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为：
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
2.傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。
对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中Fn为复幅度。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中an和bn是实频率分量的幅度。
的这一半更多地赢取上帝掌握的那一半。
