近年，随着有监督学习的低枝果实被采摘的所剩无几，无监督学习成为了研究热点。VAE（Variational Auto-Encoder，变分自编码器）[1,2] 和 GAN（Generative Adversarial Networks） 等模型，受到越来越多的关注。
笔者最近也在学习 VAE 的知识（从深度学习角度）。首先，作为工程师，我想要正确的实现 VAE 算法，以及了解 VAE 能够帮助我们解决什么实际问题；作为人工智能从业者，我同时希望在一定程度上了解背后的原理。
作为学习笔记，本文按照由简到繁的顺序，首先介绍 VAE 的具体算法实现；然后，再从直观上解释 VAE 的原理；最后，对 VAE 的数学原理进行回顾。我们会在适当的地方，对变分、自编码、无监督、生成模型等概念进行介绍。
我们会看到，同许多机器算法一样，VAE 背后的数学比较复杂，然而，工程实现上却非常简单。
这篇 Conditional Variational Autoencoders 也是 by intuition 地介绍 VAE，几张图也非常用助于理解。
1. 算法实现
这里介绍 VAE 的一个比较简单的实现，尽量与文章[1] Section 3 的实验设置保持一致。完整代码可以参见 repo。
1.1 输入：
数据集 X?Rn。
做为例子，可以设想 X 为 MNIST 数据集。因此，我们有六万张 0~9 的手写体 的灰度图（训练集）， 大小为 28×28。进一步，将每个像素归一化到[0,1]，则 X?[0,1]784 。
图1. MNIST demo （图片来源）
1.2 输出：
一个输入为 m 维，输出为 n 维的神经网络，不妨称之为 decoder [1]（或称 generative model [2]）（图1）。
图 2. decoder
在输入输出维度满足要求的前提下，decoder 以为任何结构——MLP、CNN，RNN 或其他。 由于我们已经将输入数据规一化到 [0, 1] 区间，因此，我们令 decoder 的输出也在这个范围内。这可以通过在 decoder 的最后一层加上 sigmoid 激活实现 : f(x)=11+e?x 作为例子，我们取 m = 100，decoder 的为最普遍的全连接网络（MLP）。基于 Keras Functional API 的定义如下：
n, m = 784, 2hidden_dim = 256batch_size = 100## Encoderz = Input(batch_shape=(batch_size, m))h_decoded = Dense(hidden_dim, activation='tanh')(z)x_hat = Dense(n, activation='sigmoid')(h_decoded)1.3 训练
图 3. VAE 结构框架
1.3.1 encoder
为了训练 decoder，我们需要一个辅助的 encoder 网络（又称 recognition model）（如图3）。encoder 的输入为 n 维，输出为 2×m 维。同 decoder 一样，encoder 可以为任意结构。
图 4. encoder
1.3.2 采样（sampling）
我们将 encoder 的输出（2×m 个数）视作分别为 m 个高斯分布的均值（z_mean）和方差的对数（z_log_var）。
接着上面的例子，encoder 的定义如下：
## Encoderx = Input(batch_shape=(batch_size, n))h_encoded = Dense(hidden_dim, activation='tanh')(x)z_mean = Dense(m)(h_encoded) # 均值z_log_var = Dense(m)(h_encoded) # 方差对数然后，根据 encoder 输出的均值与方差，生成服从相应高斯分布的随机数：
epsilon = K.random_normal(shape=(batch_size, m), mean=0.,std=epsilon_std) # 标准高斯分布z = z_mean + exp(z_log_var / 2) * epsilonz 就可以作为上面定义的 decoder 的输入，进而产生 n 维的输出 x^。
图5. 采样
这里运用了 reparemerization 的技巧。由于 z～N(μ,σ)，我们应该从 N(μ,σ) 采样，但这个采样操作对 μ 和 σ 是不可导的，导致常规的通过误差反传的梯度下降法（GD）不能使用。通过 reparemerization，我们首先从 N(0,1) 上采样 ?，然后，z=σ??+μ。这样，z～N(μ,σ)，而且，从 encoder 输出到 z，只涉及线性操作，（? 对神经网络而言只是常数），因此，可以正常使用 GD 进行优化。方法正确性证明见[1] 2.3小节和[2] 第3节 （stochastic backpropagation）。
图6. Reparameterization （图片来源）
preparameterization 的代价是隐变量必须连续变量[7]。
1.3.3 优化目标
encoder 和 decoder 组合在一起，我们能够对每个 x∈X，输出一个相同维度的 x^。我们目标是，令 x^ 与 x 自身尽量的接近。即 x 经过编码（encode）后，能够通过解码（decode）尽可能多的恢复出原来的信息。
注：严格而言，按照模型的假设，我们要优化的并不是 x 与 x^ 之间的距离，而是要最大化 x 的似然。不同的损失函数，对应着不是 p(x|z) 的不同概率分布假设。此处为了直观，姑且这么解释，详细讨论见下文（[1] 附录C）。
由于 x∈[0,1]，因此，我们用交叉熵（cross entropy）度量 x 与 x^ 差异：
xent=∑i=1n?[xi?log(x^i)+(1?xi)?log(1?x^i)]
xent 越小，x 与 x^ 越接近。
我们也可以用均方误差来度量： mse=∑i=1n(xi?x^i)2 mse 越小，两者越接近。
训练过程中，输出即是输入，这便是 VAE 中 AE（autoencoder，自编码）的含义。
另外，我们需要对 encoder 的输出 z_mean（μ）及 z_log_var（logσ2）加以约束。这里使用的是 KL 散度（具体公式推导见下文）： KL=?0.5?(1+logσ2?μ2?σ2)=?0.5(1+logσ2?μ2?exp(logσ2))
这里的KL， 其实是 KL 散度的负值，见下文。
总的优化目标（最小化）为：
loss=xent+KL
或
loss=mse+KL
综上所述，有了目标函数，并且从输入到输出的所有运算都可导，我们就可以通过 SGD 或其改进方法来训练这个网络了。
由于训练过程只用到 x（同时作为输入和目标输出），而与 x 的标签无关，因此，这是无监督学习。
1.4 小结
总结一下，如图2，VAE 包括 encoder （模块 1）和 decoder（模块 4） 两个神经网络。两者通过模块 2、3 连接成一个大网络。利益于 reparemeterization 技巧，我们可以使用常规的 SGD 来训练网络。
学习算法的最好方式还是读代码，网上有许多基于不同框架的 VAE 参考实现，如 tensorflow、theano、keras、torch。
2. 直观解释2.1 VAE 有什么用？2.1.1 数据生成
由于我们指定 p(z) 标准正态分布，再接合已经训练和的 decoder （p(x|z)），就可以进行采样，生成类似但不同于训练集数据的新样本。 图7. 生成新的样本
图8（交叉熵）和图9（均方误差）是基于训练出来的 decoder，采样生成的图像（x^）
图8. 交叉熵损失
图9. 均方误差损失
严格来说，生成上图两幅图的代码并不是采样，而是 E[x|z] 。伯努力分布和高斯分布的期望，正好是 decocder 的输出 x^。见下面的讨论。
2.1.2 高维数据可视化
encoder 可以将数据 x，映射到更低维的 z 空间，如果是2维或3维，就可以直观的展示出来（图10、11）。
图10. 交叉熵损失
图11. 均方误差损失
2.1.3 缺失数据填补（imputation）
对许多现实问题，样本点的各维数据存在相关性。因此，在部分维度缺失或不准确的情况，有可能通过相关信息得到填补。图12、13展示一个简单的数据填补的实例。其中，第一行为原图，第二行为人行中间某些像素的缺失图，第三行为利用 VAE 模型恢复的图。
图12. 交叉熵损失
图13. 均方误差损失
2.1.4 半监督学习
相比于高成本的有标注的数据，无标注数据更容易获取。半监督学习试图只用一小部分有标注的数据加上大量无标注数据，来学习到一个较好预测模型（分类或回归）。 VAE 是无监督的，而且也可以学习到较好的特征表征，因此，可以被用来作无监督学习[3, 12]。
2.2 VAE 原理
由于对概率图模型和统计学等背景知识不甚了了，初读[1, 2]，对问题陈述、相关工作和动机完全无感。因此，先放下公式，回到 comfort zone，类比熟悉的模型，在直觉上理解 VAE 的工作原理。
2.2.1 模型结构
从模型结构（以及名字）上看，VAE 和 自编码器（audoencoder）非常的像。特别的，VAE 和 CAE（constractive AE）非常相似，两者都对隐层输出增加长约束。而 VAE 在隐层的采样过程，起到和 dropout 类似的正则化偷用。因此，VAE 应该和 CAE 有类似的训练和工作方式，并且不太易容过拟合。
2.2.2 流形学习
数据虽然高维，但相似数据可能分布在高维空间的某个流形上（例如图14）。而特征学习就要显式或隐式地学习到这种流形。
图14. 流形学习 （图片来源）
正是这种流形分布，我们才能从低的隐变量恢复出高维的观测变量。如图8、图9，相似的隐变量对应的观测变量确实比较像，并且这样相似性是平滑的变化。
3. 推导
VAE 提出背景涉及概率领域的最大似然估计（最大后验概率估计）、期望最大化（EM）算法、变分推理（variational inference，VI）、KL 散度，MCMC 等知识。但 VAE 算法本身的数学推导不复杂，如果熟悉各个内容的话，可以直接跳到 3.6。
3.1 问题陈述
已知变量 x 服从某固定但未知的分布。x 与隐变量（latent variables）的关系可以用图15 描述。这是一个简单的概率图。（注意，x 和 z 都是向量）
图15 两层的有向概率图，x为观测变量，z为隐变量
对于这个概率图，p(z) （隐变量 z 的先验）、p(x|z)（x 相对 z 的条件概率）,及 p(z|x)（隐变量后验）三者就可行完全描述 x 和 z 之间的关系。因为两者的联合分布可以表示为：
p(z,x)=p(x|z)p(z)
x 的边缘分布可以计算如下： p(x)=∫zp(x,z)dz=∫zp(x|z)?p(z)dz=Ez[p(x|z)]
我们只能观测到 x，而 z 是隐变量，不能被观测。我们任务便是通过一个观察集 X，估计概率图的相关参数。
对于一个机器学习模型，如果它能够（显式或隐式的）建模 p(z) 和 p(x|z)，我们就称之为生成模型。这有如下两层含义： 1. 两者决定了联合分布 p(x,z)； 2. 利用两者可以对 x 进行采样（ancestral sampling）。具体方法是，先依概率生成样本点 zi～p(z)，再依概率采样 xi～p(x|zi)。
最简单的生成模型可能是朴素贝叶斯模型。
3.2 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）
概率分布的参数最经典的方法是最大似然估计。
给定一组观测值 X=(xi),i=1,..,n。观测数据的似然为： L(pθ(X))=∏inpθ(xi)
一般取似然的对数： logL(pθ(X))=∑inlogpθ(xi)
MLE 假设最大化似然的参数 θ? 为最优的参数估计。因此，概率的参数估计问题转化为了最大化 logL(pθ(X)) 的最化问题。
从贝叶斯推理的观点，θ 本身也是随机变量，服从某分布 p(θ)。
p(θ|X)=p(θ)?(X|θ)p(X)=p(θ)?(X|θ)∫θp(X,θ)dθ∝p(θ)?(X|θ)
logp(θ|X)=logp(θ)+logL(p(X|θ))
这是最大后验概率估计（MAP）。
3.3 期望最大化算法（Expectation-Maximum，EM）
对于我们问题，利用 MLE 准则，优化目标为： logp(X,Z)
由于z 不可观测， 我们只能设法优化： logp(X)=log∫zp(X,z)dz
通过 MLE 或 MAP 现在我们已经有了要目标（对数似然），但在我们问题下，似然中存在对隐变量 z。合理假设（指定）p(z) 和 p(x|z)的分布形式，可以用期望最大化算法（EM）解决。
随机初始化 θold E-step：计算 pθold(z|x) M-step：计算 θnew，给定： θnew=argmaxθQ(θ,θold) 其中， Q(θ,θold)=∫zpθold(z|x)log(pθ(x,z))dz
EM 比较直观的应用是解决高斯混合模型（Gaussian Mixtrue Model，GMM）的参数估计及K-Means 聚类。更复杂的，语音识别的核心——GMM-HMM 模型的训练也是利用 EM 算法[5]。
这里我们直接给出 ME 算法而省略了最重要的证明，但 EM 是变分推理的基础，如果不熟悉建议先参见 [4] Chapter 9 或 [9]。
3. 4 MCMC
EM 算法中涉及到对 p(z|x) （即隐变量的后验分布）的积分（或求各）。虽然上面举的例子可以方便的通过 EM 算法求解，但由于概率分布的多样性及变量的高维等问题，这个积分一般是难以计算的（intractable）。
因此，可以采用数值积分的方式近似求得 M-step 的积分项。 Q(θ,θold)=∫zpθold(z|x)log(pθ(x,z))dz≈1N∑i=1Nlogpθ(x,zi)
这涉及到按照 p(z|x) 对 z 进行采样。这需要用到 MCMC 等采样技术。关于 MCMC，LDA数学八卦 0.4.3 讲得非常明白，这里不再赘述。也可以参考 [4] Chapter 11。
3.5 变分推理（Variational Inference，VI）
由于 MCMC 算法的复杂性（对每个数据点都要进行大量采），在大数据下情况，可能很难得到应用。因此，对于 p(z|x) 的积分，还需要其他的近似解决方案。
变分推理的思想是，寻找一个容易处理的分布 q(z)，使得 q(z) 与目标分布p(z|x) 尽量接近。然后，用q(z) 代替 p(z|x)
分布之间的度量采用 Kullback–Leibler divergence（KL 散度），其定义如下：
KL(q||p)=∫q(t)logq(t)p(t)dt=Eq(logq?logp)=Eq(logq)?Eq[logp]
在不致引起歧义的情况下，我们省略 E 的下标。这里不加证明的指出 KL 的一些重要性质：KL(q||p)≥0 且 KL(q||p)=0?q=p [6]
注：KL散度不是距离度量，不满足对称性和三角不等式
因此，我们寻找 q(z) 的问题，转化为一个优化问题： q?(z)=argmaxq(z)∈QKL(q(z)||p(z|x))
KL(q(z)||p(z|x)) 是关于 q(z) 函数，而 q(z)∈Q 是一个函数，因此，这是一个泛函（函数的函数）。而变分（variation）求极值之于泛函，正如微分求极值之于函数。 如果对于变分的说法一时不好理解，可以简单地将变分视为高斯分布中的高斯、傅里叶变换中的傅里叶一样的专有名词，不要尝试从字面去理解。 另外不要把变分（variation）与 variable（变量）, variant（方差）等混淆，它们之间没有关系。
ELBO（Evidence Lower Bound Objective）
根据 KL 的定义及 p(z|x)=p(z,x)p(x) KL(q(z)||p(z|x))=E[logq(z)]?E[logp(z,x)]+logp(x)
令 ELBO(q)=E[logp(z,x)]?E[logq(z)] 根据 KL 的非负性质，我们有 logp(x)=KL(q(x)||p(z|x))+ELBO(q)≥ELBO(q)
ELBO 是 p(x) 对数似似然（即证据，evidence）的一个下限（lower bound）。
对于给定的数据集，p(x) 为常数，由 KL(q(x)||p(z|x))=logp(x)?ELBO(q) 最小化 KL 等价于最大化 ELBO 。
关于变分推理这里就简单介绍这么多。有兴趣的话可以参考 [6]、[4] Chapter 10 以及最新的 tutorial [10]。
3.6 VAE
这里主要是按照 [1] 的思路来讨论 VAE。
观测数据 x(i) 的对数似然可以写作： logpθ(x(i)=KL(qΦ(z|x(i))||pθ(z|x(i)))+L(θ,Φ;x(i)))
这里我们将 ELBO 记作 L，以强调需要优化的参数。 我们可以通过优化 L，来间接的优化似然。
VI 中我们通过优化 L 来优化 KL。
根据概率的乘法公式，经过简单的变换，L 可以写作 L(θ,Φ;x(i)))=?KL(qΦ(z|x(i))||pθ(z))+EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)]
因此，我们优化的目标可以分解成等号右边的两项。
3.6.1 第一项
我们先考察第一项，这是一个 KL 散度。q 是我们要学习的分布，p 是隐变量的先验分布。通过合理的选择分布形式，这一项可以解析的求出。
如果，q 取各维独立的高斯分布（即第1部分的 decoder），同时令 p 是标准正态分布，那么，可以计算出，两者之间的 KL 散度为： ?KL(qΦ(z|x(i))||pθ(z))=?0.5?(1+logσ2i?μ2i?σ2i)=?0.5(1+logσ2i?μ2i?exp(logσ2i))
这就是本文第1部分目标函数的 KL 项了。
具体证明见 [1] 附录B。
3.6.2 第二项
然后，我们考察等式右边第二项。EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)] 是关于 x(i) 的后验概率的对数似然。
由于 VAE 并不对 q(z|x) （decoder） 做太强的假设（我们的例子中，是一个神经网络），因引，这一项不能解析的求出。所以我们考虑采样的方式。 EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)]≈1L∑j=1Llogpθ(x(i)|z(j)) 这里 z(j) 不是通过从 decoder 建模的高斯分布直接采样，而是使用了第1部分介绍的 reparameterization 方法，其正确性证明见[1]的2.3小节。
如果每次只采一个样本点，则 EqΦ(z|x)[logpθ(x(i)|z)]≈logpθ(x(i)|z~)
其中，z~ 为采样点。很幸运，这个式正是神经网络常用的损失函数。
3.6.3 损失函数
通过上面讨论，VAE 的优化目标都成为了我们熟悉并容易处理的形式。下面，我们针对 pθ(x(i)|z~)（encoder）的具体建模分布，推导下神经网络训练中实际的损失函数。
第1部分介绍了 交叉熵和均方误差两种损失函数。下面简单介绍下，两种损失对应的不同概率分布假设。以下分布均假设 x 的各维独立。
交叉熵
如果假设 p(xi|z),(i=1,..,n) 服从伯努力分布，即： p(x=1|z)=αz,p(x=0)=1?αz 对于某个观测值，其似然为： L=αxz?(1?αz)1?x
decoder 输出为伯努力分布的参数，即 αz=decoder(z)=x^。则对数似然为： logL=x?log(x^)+(1?x)log(1?x^) ?logL 这就是我们使用的交叉熵。
均方误差
如果假设 p(xi|z),(i=1,..,n) 服务高斯分布，即 p(x|z)=12π??√σ?e?(x?μ)22σ2
对数似然为：
logL=?0.5?log(2π)?0.5?logσ?(x?μ)22σ2
decoder 为高斯分布的期望，这里不关心方差，即σ为未知常数。我们是优化目标为（去掉与优化无关的常数项）： max?(x?μ)22σ2=min(x?μ)2 这就是我们要优化的均方误差。
对不同损失函数与概率分布的联系，详细讨论见 [4] Chapter 5。
4. 结语
对这个领域的接触不多，认识浅显，文献也读的少，更多的是一些疑问：
VAE 是非常漂亮的工作，是理论指导模型结构设计的范例。
[1] [2] 独立提出 VAE。虽然最后提出的算法大致相同，但出发点和推导思路还是有明显不同，应该放在一起相互参照。
VAE 作为一种特征学习方法，与同样是非监督的 AE、 RBM 等方法相比，优劣势分是什么？
[2] 讨论了与 denoising AE 的关系，但 VAE 在形式上与 constractive auto-encoder 更相似，不知道两者的关系如何理解。
有些工作利用 VAE 作半监督学习，粗略看了些，并没有展现出相比于其他预训练方法的优势[3, 12]。
结合上面几点，虽然 VAE 是一个很好的工具，新的“论文增长点”，但仅就深度学习而言，感觉仅仅只是另一种新的工具。
Refences
- Kingma et al. Auto-Encoding Variational Bayes. Rezende et al. Stochastic Backpropagation and Approximate Inference in Deep Generative Models.Kingma and Rezende et al. Semi-supervised Learning with Deep Generative Models.Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning.Young et al. HTK handbook.Blei et al. Variational Inference: A Review for Statisticians.Doersch. Tutorial on Variational Autoencoders.Kevin Frans. Variational Autoencoders Explained.Sridharan. Gaussian mixture models and the EM algorithm.Blei et al. Variational Inference: Foundations and Modern Methods.Durr. Introduction to variational autoencoders .Xu et al. Variational Autoencoders for Semi-supervised Text Classification.
Further ReadingDilokthanakul et al. DEEP UNSUPERVISED CLUSTERING WITH GAUSSIAN MIXTURE VARIATIONAL AUTOENCODERSShu. GAUSSIAN MIXTURE VAE: LESSONS ABOUT VARIATIONAL INFERENCE, GENERATIVE MODELING, AND DEEP NETS. 当你开展的事业从事的行动穷途末路大势已去的时候，
