为了更好理解一些802.11的后续设计，我们需要深入了解一下802.11的协议性能。我们之前简单描述了下协议性能的部分，这一段我们讨论下具体数学模型下的802.11性能（Bianchi模型）。
Bianchi模型出自于论文《Performance Analysis of the IEEE 802.11 Distributed Coordination Function》，该论文在2000年的时候发表在JSAC（IEEE Journal on selected areas in communications）上，根据google scholar上的记录，该论文的他引次数已经高达8267次（相应的资源：bianchi模型）。其实关于802.11的理论性能从协议刚开始出来的时候就有人研究，直到现在，这个问题还是在继续研究中，该论文是这个领域中最为有代表性的一篇文章，故凡是做802.11协议的，都会阅读理解这篇文章。
PS：本文并不是按照Bianchi原文以推导的形式给出，而是为了方便理解进行的倒叙。其中部分表述和定义如果存在一些错误，还请见谅。
Bianchi模型的假设
我们首先列举一些Bianchi模型中，所设定的一些假设。
Single-cell Network：可以简单认为是个单信道环境，即所有节点共享一个功能信道，并且这个网络中，所有的节点都是互相可以监听到对方的。The collision processes of the nodes can be decoupled：即无论节点重传了几次，其在传输时候的冲突概率都是一个定值，且都是相对独立的。Channel conditions are ideal：信道是一个理想信道，即传输错误仅仅由于传输碰撞造成，与物理层的信道质量无关。且由于Single-cell的假设，所有节点都可以互相监听，所以网络中也没有隐藏和暴露终端问题。Saturation throughput：Bianchi模型分析为饱和情况下的吞吐量，即任意一个节点都是假设有数据包的，不存在节点竞争到信道之后，没有数据包待发送的情况出现。No packet dropped：按照协议所述，如果数据包发送失败，节点是可以发起重传的。这个重传次数上限为6次，如果超过该次数，那么就需要丢包。而在Bianchi模型中，保留的重传次数上限为6次的这个设置，不过没有设定6次以后进行丢包，而是一直保持在第6次这个zhuMAC层效率（归一化吞吐量）
在之前的一篇文章中，我们定义了MAC层的归一化吞吐量为传输真实数据（Data）的时间占总传输时间（Overhead + Data）的比例。
在Bianchi模型中，其具体定义如下（部分表述有稍微修饰一下）
其中为归一化吞吐量（注：本文讨论的吞吐量都是系统的吞吐量，没有具体到某一个节点的吞吐量上，而是所有节点整体的吞吐量），分子分母都是一个数学期望，实际上就是平均时间。分母代表的是Generic slot（这个后面我们说明，与DCF中的标准slot时间存在区别），分子定义的是在这个Generic slot内，传输数据的时间。不严格的说，其物理意义和我们之前一篇描述的定义是一样的。
Generic Slot：这个是一个随机选择的时间，其与802.11中DCF的具体接入机制有关。一般意义上，我们理解其物理意义就是Backoff counter倒数1次的时间间隔。
如上图为Generic slot的3种可能取值。其中代表协议中的slot时间（比如802.11g中的9μs），为成功传输所花费的总时间，为碰撞一次所花费的总时间。为至少有一个节点准备发送的概率，为成功传输的概率（实际上理解成只有1个节点传输的概率，如果有多个那么就会造成冲突）。我们进一步阐述如下：
情况1 — ：若节点在Backoff过程中，经过1个slot，backoff counter未倒数到0。这个概率为，消耗的时间就是一个slot，即时间。若节点经过这个slot，backoff counter正好倒数到0，那么节点就会发送数据（即概率）。但是发送后，这里还存在两种情况，一者发送成功，一者发送失败。情况2 – ：若节点成功发送该数据，那么损耗时间为，其对应概率为，即不仅发送，且发送成功。情况3 – ：若节点发送数据，但是由于冲突（比如多个节点backoff counter倒数同时至0），那么这个数据帧是没有无法成功被接收的，这个损耗的时间就是。其对应概率为，即虽然发送，不过发送失败。具体的和还与节点的工作模式有关（Basic模式或者RTS/CTS模式），我们分别解释：
Basic模式：该模式的简单流程如下图：
其中和的时间如下：
其中代表物理层头部的传输时间，和都是协议给定的帧间间隔，为协议给定的ACK帧的传输时间，为电磁波传播延迟（DATA-ACK过程由于是一来一回，所以传播延迟是两个）。为payload的期望，代表数据包（MSDU）传输时间的均值。代表的是发生冲突时，冲突中较长数据帧的均值，因为冲突只有在较长数据帧发送完之后，信道才被释放。
RTS/CTS模式：该模式的简单流程如下图：
其中和的时间如下：
其中和代表其数据帧对应的传输时间。上图中我们可以发现，RTS/CTS模式下，虽然传输时间是相应增加了（由于引入了RTS/CTS握手），但是冲突损耗是减少了。该设计能够保证，这个在节点较多的情况下（即碰撞概率较大的情况下），RTS/CTS的性能受到较小的影响。
本文为了简化，我们直接假设所有节点的数据包大小是一个定值，从而就等于传输这个数据包所花费的时间，且。（在bianchi原文中没有进行该假设，只是为了简化本文的叙述，所以我们做数据包大小为定值的假设）
综合以上的Generic slot和其对应时间，我们可以具体给出归一化吞吐量的具体计算公式。
其中分母就是Generic slot的均值（即事件概率乘以其对应时间），分子为在一个Generic内，成功传输数据（MSDU）部分的时间。
传输概率（）和成功传输概率（）
前面我们给出了归一化吞吐量的表达式，该式中，由于和中的参数都是协议给定。为了计算吞吐量，我们只要求出概率和就行了。
：其物理意义是至少有一个节点，在这个slot内准备传输。这里指的是发送概率，指的是总的竞争节点数目（由于假设是one-cell network，并且饱和吞吐量，所以所有节点都在竞争信道）。我们可以这样理解的物理意义：代表其中某个节点没有发送的概率，所有节点都没有发送的概率，所以其反面，就是至少有个节点可以发送的概率了。：这个实际上是个条件概率，物理意义是在有节点发送的前提下（即分母的），成功传输的概率（即有且只有一个节点正在传输）。分子我们可以这样理解：，其中代表代表有个节点正在发送，代表其余个节点都没有发送，即有且只有一个节点发送，那么才没有冲突。又是因为这个节点没有固定下来说，具体某一个节点，所以要做个排列组合，即一共个节点，即中情况，所以分子再乘以。
上面我们介绍了和的具体表达式，其中是节点数目，所以一般也是给定的。所以最后剩下来的参数就是了，我们需要对该参数进行分析。
发送概率（）和冲突概率（）
通过以上分析，我们最终只要知道每一个节点的发送概率就可以求出吞吐量了，但是这个就没有那么好求了，其主要是源于802.11协议中，发送和冲突是互相影响的。发送概率中包含了冲突概率，而冲突概率中也包含了发送概率。
以下我们描述一下bianchi模型中具体分析的过程。bianchi模型实际上采用了一个二维的Markov chain，具体如下图：
我们先简单说明下其中的一些参数，然后在具体讨论。每一横行代表的是一次Backoff过程，每一纵行代表的是一次二进制指数增加CW窗口大小的过程。以第1行为例说明如下：
状态，代表是第0次的Backoff过程（即CW窗口是默认大小），代表Backoff counter选取数值为（由于CW范围是从0开始，所以最大数值为），就是第0次Backoff时候的CW大小。状态转移至代表了1次Backoff counter的回退（如图中红色1标识），其概率为（因为不存在碰撞）。当Backoff counter倒数至0后，即转移至状态时，节点可以发送数据。若发送成功（即概率），如图中红色2标识，就需要重新在CW窗口内选择一个随机数（即某个随机数被选中的概率为），并转移到该状态（比如转移到状态，其转移概率为）。若发送失败（即概率），如图中红色3标识，那么需要首先调节CW窗口大小（指数为2增长），即变为，在第二轮中，。然后节点需要在更新后的CW窗口大小中选择一个随机数（概率为），并转移至该状态（比如转移到状态，其转移概率为）。在Bianchi模型中，假设是没有丢包过程的。而二进制指数回退并不是上限无穷的增加CW窗口，其有个最大次数次，在bianchi模型中。如果节点第m次回退后，还是发送失败，则不增加CW窗口大小，而是直接在这一轮设置的CW大小（）中，直接选择一个随机数进行重传（这个概率就是）。
更一般的我们用数学标识即是下面的式子：
下面我们先表示冲突概率
由于Bianchi模型中，已经假设节点之间的冲突过程是相对独立的。假设我现在是某个节点，我已经处于发送状态，所以剩余的个节点都不能够发送（即概率），如果有任意一个也处于发送状态（即概率），那么就会发生冲突。
最终我们考虑发送概率，参考下图
协议规定，如果节点Backoff counter倒数到0，那么就可以进行发送。由于节点可能处在不同的backoff状态（即初次传输，重传1次，重传2次等等），所以我们需要对转移到这些状态的概率做一个累加，即：
其中代表CW最多增加次，是个index，代表第次Backoff过程，代表状态，代表第次Backoff counter倒数到0。因为每一次发送完之后，节点都必须要转移到状态。所以我们可以直接计算转移到状态的条件概率。即如果发送没有发生冲突（即概率），状态转移至的概率（即）。
最后我们表示出状态时候的稳态概率即可
这个概率的物理意义有些繁杂，我们就不进行展开了，最终我们可以计算发送概率为：
从而获得以下的一个联立的方程（其中上式的和下面的联立表达还有一个参数带入的步骤，具体可以参考论文，这里直接跳跃到下面的结果了）：
我们看到上面的表达中，表达式中包含，同样中表达式也包含。故我们需要采用fix-point的方法，才可以对其进行求解。具体求解方法我们在下一篇文章中进行讨论。
结果分析
以下我们直接参考Bianchi论文中给出的结果，大致说明一下：
上图横轴代表节点数目（节点数目从0到50），纵轴代表归一化吞吐量（即范围从0~1，图中是从0.5开始绘制）。图中一共绘制5组结果：
代表Basic模式下，初始的CW窗口设置为32，CW窗口可以回退增大3次。代表Basic模式下，初始的CW窗口设置为32，CW窗口可以回退增大5次。代表Basic模式下，初始CW窗口设置为128，CW窗口可以回退增大3次。
从这三组值的对比上可以看出，节点数越多，Basic模式的性能越差。其基本原因就是冲突概率的增加。通过增加CW窗口大小的方法，能够一定程度上避免冲突问题，所以能够缓解随着节点数增加，而造成的吞吐量下降。初始设置更大的CW比增加回退次数要更有效一些。
代表RTS/CTS模式下，初始的CW窗口设置为32，CW窗口可以回退增大3次。代表RTS/CTS模式下，初始的CW窗口设置为128，CW窗口可以回退增大3次。
在RTS/CTS模式下，可以发现其吞吐量相比Basic模式，能够在节点数较多的时候，受到较小的影响，其基本原因在于冲突损耗上。Basic模式冲突一次是损失了一个数据帧的时间，而RTS/CTS模式下，冲突一次仅仅损耗了一个RTS时间。同时我们还可以看到，由于冲突损失较小的情况下，我们没有必要设置更大的CW窗口大小，因为更大的窗口大小就意味着更多的回退次数，从而消耗更多的时间。
泪，一种痛苦的雨滴，不知从什么时候开始已在我的世界下个不停。
