Apriori这个词的意思是“先验的”,从priori这个词根可以猜出来~;)。该算法用于从数据中挖掘频繁项数据集以及关联规则。其核心原理是基于这样一类“先验知识”:
如果一个数据项在数据库中是频繁出现的,那么该数据项的子集在数据库中也应该是频繁出现的(命题1)
$$ \forall X,Y\in J:(X\subseteq Y)\rightarrow f(X)\leq f(Y) $$
反之亦然,其逆否命题为:
如果一个数据项在数据库中很少出现,那么包含该数据项的父集(superset)在数据库中也应该很少出现。(命题2)
$$f(X)\geqf(Y)\rightarrow\forallX,Y\inJ:(X\supseteqY)$$
背景知识:
①假设我们要从数据库中找到如下一种关联规则:
$$x\rightarrowy$$
也就是说,当某一数据项包含包含集合X时,该数据项肯定包含集合Y。
②既然说有X的地方必定有Y,那么我们需要大量的数据来说明这一点。用X和Y同时出现的次数除以数据库中数据项的总数得到“支持度”的概念:
$$ Support,s(X\rightarrow Y) = \frac {\delta (X \cup Y)}{N}; $$
③在集合X出现的数据项中,是否一定会出现集合Y呢?我们用X和Y同时出现的次数除以X出现的全部次数,得到“置信度”的概念:
$$ Confidence,c(X\rightarrow Y) = \frac {\delta (X \cup Y)}{\delta (X)}; $$
深入理解apriori算法:
分析“支持度”和“置信度”的概念可知,在给定“支持度”和“置信度”的条件下为了找到关联规则,首先需要找到符合“支持度”条件的X和Y的并集{X,Y}。由命题1可知,如果集合{X,Y}满足“支持度”条件(即频繁出现),那么集合中的每个元素也应该是频繁出现的。集合的构成可以用树来表示,下面用图1来说明。
图1若{c,d,e}频繁出现,则{cd}{ce}{de},{c}{d}{e}也频繁出现
图2如果{a,b}不是频繁集,那么{abc}{abd}{abe}{abcd}{abce}{abde}{abcde}也都不是频繁集。
由此可见,如果我们从单一元素所构成的集合下手(也就是上图中树的第一层,记为C1),根据“支持度”判别条件对该树进行“剪枝”,将大大降低计算的次数。
得到C1后,如果根据组合原理直接生成C2然后对每个可能的组合计算“支持度”,计算量依然很大。这里再次进行剪枝。为了不失一般性,对于Ck-1层中的每个集合先排序,然后将满足以下条件的集合融合,构成Ck层
$$a_{i}=b_{i} (for\quadi=1,2,…,k-2) and a_{k-1}\neqb_{k-1}$$
之所以这样做是因为,根据命题2,如果集合C4层的{acde}是频繁集,那么C3层中必定要存在{acd}和{ace}。因此只需在C3成对这两个集合融合即可,不必再将{ace}和{ade}融合,在C3层对元素排序的目的也正是在此,快速地找到满足条件的子集并融合,避免重复计算。
优化:
在得到Ck层后,计算其中每个集合的“支持度”时,需要从数据库中遍历所有的数据项看是否包含该集合。这里可以采用Hash表将所有的数据映射到一张表上,以后就不用遍历整个数据库而是只遍历Hash值相同的所有数据项。
生成规则:
对于前面得到的频繁项集合中每个元素,其可能生成的规则可以表示为下图
图3 从频繁项生成规则
以上图为例来说明,假设由{bcd}生成{a}这一规则不满足置信度公式,回顾“置信度”的公式,也就是说{bcd}在数据库中出现的次数偏多,而{a}出现的次数偏少,根据命题1,{bcd}的子集也是频繁项,根据命题2,{a}的父集也很少出现,从而{bc}生成{ad}等规则的置信度更低,然后将其从集合树上减去。
总结:
将以上过程联系起来,就得到了书上的伪代码,我将其用通俗的语言解释一下:
1.遍历数据库,得到所有数据项构成的并集(也就是得到图1的C1层)
2.计算Ck层中每个元素的支持度(该过程可用Hash表优化),删除不符合的元素,将剩下的元素排序,并加入频繁项集R
3.根据融合规则将Ck层的元素融合得到Ck+1,
4.重复2,3步直到某一层元素融合后得到的是空集
5.遍历R中的元素,设该元素为A={a1,a2……,ak}
6.按照图所示方法先生成I1层规则,即{x|x属于A且≠ai}→{ai}
7.计算该层所有规则的“置信度”,删除不符合的规则,将剩下的规则作为结果输出。
8.生成下一层的规则,计算“置信度”,输出结果。
参考文献:
Machine Learning in Action:http://pan.baidu.com/s/1Gc4ss
Introduction to Data Miningchapter 6 :http://pan.baidu.com/s/1oskIS
Python源码:
去GitHub下载该文件源码