动态电路的零状态响应

当动态电路中所有储能元件都没有原始储能 ( 处于零状态 ) 时，换路后仅由输入激励（独立源）产生的响应称为零状态响应。此时，电路的输入 – 输出方程为 n 阶非齐次微分方程

( 1 )

因此，零状态响应即非齐次微分方程的解。

根据高等数学知识，非其次微分方程的解为两部分之和：

( 2 )

其中，为齐次微分方程

的通解；为 ( 1 ) 式非其次微分方程的一个特解。

齐次微分方程的通解取决于特征根的取值情况，如果特征方程无重根，则

( 3 )

其中，为特征根，为待定常数，需要根据初始条件确定特解的函数形式与输入函数的形式有关，一般可凭观察先假设一个含有待定系数的与非齐次微分方程右端的函数式相似的特解，然后代人非齐次微分方程，用比较系数法 ( 比较方程两端各对应项的系数 ) 确定。可见，零状态响应有如下形式：

( 4 )

在具体求解零状态响应时，一般步骤可归纳如下：

• 根据换路后动态电路得到输入 – 输出方程 ( n 阶非齐次微分方程 )

• 根据对应的 n 阶齐次微分方程列出特征方程，求得特征根

• 写出包含待定常数的齐次微分方程的通解：

• 根据输入 – 输出方程右边输入激励的函数形式写出含待定系数的特解

• 将特解代入输入输出方程，利用比较系数法确定特解

• 写出零状态响应

• 根据原始状态 ( 零状态 ) 和输入激励确定初始条件：

• 根据初始条件确定常数

• 最终得到动态电路的零状态响应

零状态响应由两部分组成，其中特解部分的函数形式完全取决于输入激励的函数形式，因此称为强制分量或强迫响应；通解部分的函数形式仅取决于电路的拓扑结构和元件参数，与输入激励的函数形式无关，输入激励仅影响其常数取值，因此称为自由分量或自然响应。与之相比，零输入响应仅包含自由分量，且常数取值由原始状态决定。

【例1 】在例图1 中，，，，电压源电压；开关在时刻闭合。求的零状态响应。

例图1 零状态响应计算实例

解：根据基尔霍夫电压定律和元件的电压电流关系可得换路后电路的积分微分方程为

( 5 )

两边同时对时间求导，得以为输出变量的输入 – 输出方程

( 6 )

齐次微分方程的特征方程为：

解得特征根：

齐次微分方程的通解写成：

根据输入 – 输出方程右侧函数形式，设特解为：

将代入 ( 4-7-6 ) ，两边比较系数可得：

故：

电路的零状态响应为：

为了确定常数，需要确定两个初始条件：与。

由于换路瞬间电感电流、电压均不会发生跳变，故

在时刻， ( 5 ) 式可写成

将、代入，解得：

利用初始条件可得：，

联立求解可得：，

故电路的零状态响应为：