二阶电路的暂态过程

二阶电路的暂态过程

  二阶电路 用二阶微分方程描述的电路,二阶电路一般含有两个储能元件。
  图示电路中,时开关接通。求 RLC串联电路的零输入响应。

  列后KVL方程      

  将元件方程

  代入得描述的二阶常系数线性齐次微分方程

  两个初始条件

  的二阶常系数线性齐次微分方程定解  

  由于电路为零输入响应,因此的强制分量(特解)为零,即

  下面求齐次微分方程通解
  特征方程及特征根为

  令代入上式,得到两个特征根

  上式表明,特征根、决定于电路参数(RLC)。而电路参数可任意取值,所以、可为相异实根、二重根或共轭复根。相应的,方程通解将具有不同的函数形式。

  1.,即电路参数满足

  此时、为两个相异负实根(设RLC均为正值)。方程通解为

  其中A1和A2须通过初始条件确定

  解得

  将A1、A2代入得响应

  

  根据、电感的元件方程,考虑到可得

  由于电路中无独立,所以响应、、均为零输入响应,因而只含自由分量。
时RLC串联电路零输入响应波形如下——过阻尼过程

  2.,即电路参数满足

  此时、为一对共轭复数,它们分别写成

  式中,

  方程通解为

  其中A和须由初始条件确定:

  解得

  代入得响应

  根据元件方程,得

        

        

        

        

  下图画出了时RLC串联电路零输入响应、i及的波形图——欠阻尼过程

  3.,即电路参数满足

  此时和为两个相等负实根,即特征方程存在二重根

  方程通解为

  其中A1、A2须由初始条件确定:

  解得

  代入通解得

  以及

  由于属于临界状态。此时电阻R称为临界电阻。临界情形仍是非振荡情形。
  例1.图(a)所示电路,设。求的单位阶跃特性。

  

  解:设A。列写关于的微分方程。根据KCL,得

    (1)

  根据KVL,得

    (2)

  将式(2)对时间求导,再将式(1)代入求导后的方程,得

    (3)

  代入已知数

    (4)

  由零状态电路得初始条件:

    (5)

  下面求满足方程(4)和初始值(5)的解答。
  图 (a)所示电路在作用下存在稳态解。的稳态分量为。为求自由分量须写出方程(4)的特征方程并求出特征根

  (6)

为一对共轭复根,故自由分量形式为

    (7)

  与相加便是方程(4)的通解

    (8)

  由初始条件式(5)确定B和:

  解得

    (9)

  将、代入式(8)得到满足方程(4)及初始值(5)的解,即响应

A     (10)

  因为电路为零状态,时,可以用单位阶跃函数表示时的情况。这样的统一表达式是

A  (11)

  上述是在单位阶跃电流源作用下产生的响应,故的单位阶跃特性的变化规律与相同,但无量纲。即

    (12)

的波形如图 (b)所示。 

二阶电路的暂态过程

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